a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay BE // DF. Vì DE là tia phân giác của ˆADC nên ˆD1=ˆD2 Mà ˆD1=ˆE1 (BE // DF, hai góc sole trong) nên ˆD2=ˆE1 Suy ra tam giác ADE cân tại A. Tương tự ta cũng chứng minh được: tam giác BCF cân tại C. Vì ABCD là hình bình hành nên AD= BC; ˆA=ˆC;ˆADC=ˆABC. Vì AE là tia phân giác ˆADC ; BF là tia phân giác ˆABC nên ^B1=ˆB2; ^D1=ˆD2 mà ˆADC=ˆABC Do đó ˆB1=ˆB2=ˆD1=ˆD2 Xét ∆ADE và ∆CBF có: ˆA=ˆC(chứng minh trên); AD = BC (chứng minh trên); ˆB2=ˆD2 (chứng minh trên). Do đó ∆ADE = ∆CBF (g.c.g). b) Vì ˆB1=ˆB2=ˆD1=ˆD2 mà ˆB2=ˆF1 (vì tam giác BCF cân tại C) Suy ra ˆD1=ˆF1 (hai góc đồng vị). Do đó DE // BF. Tứ giác BEDF có: BE // DF (chứng minh trên); DE // BF (chứng minh trên). Do đó, tứ giác BEDF là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành (gt) Suy ra AD=BC; AD // BC Mà E, F là trung điểm củaAD,BC (gt) Suy ra AE=ED=BF=FC Xét tứ giác EBFD ta có: ED=FB (cmt) ED// BF (do AD //BC) Suy ra EDFB là hình bình hành b) Vì ABCDlà hình bình hành (gt) Suy ra O là trung điểm của AC và BD Mà DEBF là hình bình hành (gt) Suy ra O cũng là trung điểm củaEF Suy ra E, O, F thẳng hàng

Xét ΔABC có AN/AB=AM/AC=1/2

nên NM//BC và NM=1/2BC(1)

Xét ΔGBC có GP/GB=GQ/GC=1/2

nên PQ//BC và PQ=BC/2(2)

Từ (1), (2) suy ra NM//PQ và NM=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. ⇒ AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành. ( 2 Góc so le trong) Xét ∆OAM và ∆OCN có:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành. ( 2 Góc so le trong) Xét ∆OAM và ∆OCN có:

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra ˆOAM=ˆOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

ˆOAM=ˆOCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

ˆAOM=ˆCON (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.