VÌ AH,CK VUÔNG GÓC VỚI BD (GT)

SUY RA:AD =BC ;AD//BC

XÉT ∆ADH VÀ ∆ CBK CÓ:

AHD^=CKB^=90° (GT)

AD=BC(CMT)

ADH^=CBK^ (DO AD//BC)

SUY RA AH =CK (2 CẠNH TƯƠNG ỨNG)

MÀ AH//CK (CMT)

SUY RA AHCK LÀ HBH

a)Vì ABC là hbh (gt)

Suy ra AD=BC;AD//BC

Mà E,F là trung điểm của AD,BC (gt)

Suy ra AD=ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD có:

ED=FB (cmt)

ED//BF(do AD//BC)

Suy ra EDFB là hbh

b) vì ABCD là hbh (gt)

Suy ra O là trung điểm của AC và BD

Mà DEBF là hbh(gt)

Suy ra O là trung điểm của EF

Suy ra :E,O,F thẳng hàng

Xét ΔABC có AN/AB=AM/AC=1/2 nên NM//BC và NM=1/2BC(1) Xét ΔGBC có GP/GB=GQ/GC=1/2 nên PQ//BC và PQ=BC/2(2) Từ (1), (2) suy ra NM//PQ và NM=PQ =>MNPQ là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF. Suy ra: AEFD là hình bình hành. Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành. b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường. Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường. Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD

AB//CD nên AM//CN

Suy ra:OAM^=OCN^ (hai góc so le trong)

Xét OAM^=OCN^ (Chứng minh trên)

AOM^=CON^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM=∆OCN(Cc.g.c)

Suy ra:AM=CN(hai cạnh tương ứng)

Mặt khác,AB=CD(chứng minh trên)

AB=AM+BM;CD=CN+DN

suy ra BM=DN

Xét tứ giác MBND có:

DM//DN (chứng minh trên)

Do đó tứ giác MBND là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: • Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD

AB//CD nên AM//CN

Suy ra:OAM^=OCN^ (hai góc so le trong)

Xét OAM^=OCN^ (Chứng minh trên)

AOM^=CON^ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆OAM=∆OCN(Cc.g.c)

Suy ra:AM=CN(hai cạnh tương ứng)

Mặt khác,AB=CD(chứng minh trên)

AB=AM+BM;CD=CN+DN

suy ra BM=DN

Xét tứ giác MBND có:

DM//DN (chứng minh trên)

Do đó tứ giác MBND là hình bình hành

a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD nên AB//CD

Mà E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AE=BE,CF=DF

Do đó AE=BE=CF=DF

Xét tứ giác AEDF có:

AE//DF(vì AB//CD)

AE=DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEDF là hình bình hành

Xét tứ giác AEDF có AE//CF (vì AB//CD)

AE=CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEDF,AECF là hình bình hành

b, vì tứ giác AEDF là hình bình hành nên EF=AD

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AE=EC

Vậy EF=AD,AF=EC