Vì \(A B C D\) là hình bình hành, nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, tức là:

\(OlàtrungđiểmcủaACvàBD\)

Ta có:

• Đường thẳng \(m\) đi qua \(O\), cắt \(A B\) tại \(M\) và \(C D\) tại \(P\).
• Hai cạnh \(A B\) và \(C D\) của hình bình hành song song với nhau.
  → Vậy hai điểm \(M , P\) nằm trên hai đường song song \(A B\) và \(C D\).

Do đó, đoạn thẳng \(M P\) đi qua trung điểm \(O\) của đoạn nối giữa hai cạnh song song \(A B\) và \(C D\), nên \(O\) cũng là trung điểm của \(M P\).

Tương tự, đường thẳng \(n\) đi qua \(O\), cắt \(B C\) tại \(N\) và \(D A\) tại \(Q\).
Vì \(B C \parallel D A\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(N Q\).

⇒ Hai đoạn chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại \(O\) và bị chia đôi tại điểm đó.

Mà trong hình học, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau và cùng bị chia đôi tại một điểm, thì tứ giác đó là hình bình hành.

Kết luận: \(M N P Q\) là hình bình hành.

biết \(M N P Q\) là hình bình hành.
\(m \bot n\)(gt), tức là hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) vuông góc nhau.

→ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc thì là hình thoi.

(Ta có thể hiểu thêm: trong hình thoi, các đường chéo vừa vuông góc vừa cắt nhau tại trung điểm — điều này đúng với \(M N P Q\)).

Kết luận:
\(M N P Q\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc ⇒ là hình thoi.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, tức là:

\(OlàtrungđiểmcủaACvàBD\)

Ta có:

• Đường thẳng \(m\) đi qua \(O\), cắt \(A B\) tại \(M\) và \(C D\) tại \(P\).
• Hai cạnh \(A B\) và \(C D\) của hình bình hành song song với nhau.
  → Vậy hai điểm \(M , P\) nằm trên hai đường song song \(A B\) và \(C D\).

Do đó, đoạn thẳng \(M P\) đi qua trung điểm \(O\) của đoạn nối giữa hai cạnh song song \(A B\) và \(C D\), nên \(O\) cũng là trung điểm của \(M P\).

Tương tự, đường thẳng \(n\) đi qua \(O\), cắt \(B C\) tại \(N\) và \(D A\) tại \(Q\).
Vì \(B C \parallel D A\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(N Q\).

⇒ Hai đoạn chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại \(O\) và bị chia đôi tại điểm đó.

Mà trong hình học, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau và cùng bị chia đôi tại một điểm, thì tứ giác đó là hình bình hành.

Kết luận: \(M N P Q\) là hình bình hành.

biết \(M N P Q\) là hình bình hành.
\(m \bot n\)(gt), tức là hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) vuông góc nhau.

→ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc thì là hình thoi.

(Ta có thể hiểu thêm: trong hình thoi, các đường chéo vừa vuông góc vừa cắt nhau tại trung điểm — điều này đúng với \(M N P Q\)).

Kết luận:
\(M N P Q\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc ⇒ là hình thoi.

Vì \(A B C D\) là hình bình hành, nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, tức là:

\(OlàtrungđiểmcủaACvàBD\)

Ta có:

• Đường thẳng \(m\) đi qua \(O\), cắt \(A B\) tại \(M\) và \(C D\) tại \(P\).
• Hai cạnh \(A B\) và \(C D\) của hình bình hành song song với nhau.
  → Vậy hai điểm \(M , P\) nằm trên hai đường song song \(A B\) và \(C D\).

Do đó, đoạn thẳng \(M P\) đi qua trung điểm \(O\) của đoạn nối giữa hai cạnh song song \(A B\) và \(C D\), nên \(O\) cũng là trung điểm của \(M P\).

Tương tự, đường thẳng \(n\) đi qua \(O\), cắt \(B C\) tại \(N\) và \(D A\) tại \(Q\).
Vì \(B C \parallel D A\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(N Q\).

⇒ Hai đoạn chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại \(O\) và bị chia đôi tại điểm đó.

Mà trong hình học, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau và cùng bị chia đôi tại một điểm, thì tứ giác đó là hình bình hành.

Kết luận: \(M N P Q\) là hình bình hành.

biết \(M N P Q\) là hình bình hành.
\(m \bot n\)(gt), tức là hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) vuông góc nhau.

→ Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc thì là hình thoi.

(Ta có thể hiểu thêm: trong hình thoi, các đường chéo vừa vuông góc vừa cắt nhau tại trung điểm — điều này đúng với \(M N P Q\)).

Kết luận:
\(M N P Q\) là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc ⇒ là hình thoi.

Cho hình bình hành \(A B C D\) có \(AD\bot AC\left(gt\right)\). \(M\) là trung điểm của \(A B\), \(N\) là trung điểm của \(C D\).

M là trung điểm của AB
→ AM = MB
→ AM // BD vì trong hình thoi, AB // CD và BD là đường chéo.

N là trung điểm của CD
→ CN = ND
→ CN // BD (vì CD // AB)

Trong hình bình hành, \(A B\) song song với \(C D\) và \(A D\) song song với \(B C\). Do đó đoạn nối hai trung điểm của hai cạnh đối diện sẽ song song với cạnh kia: \(M N\) song song với \(A D\).

Ta có \(A D \bot A C\) (giả thiết). Vì \(M N \parallel A D\) nên \(M N \bot A C\).
Vậy \(M N \bot A C\).

1. Gọi \(O\) là giao của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\). Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, nên \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).
2. Vì hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm, nên \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\).
   Do đó:

• \(O\) là trung điểm của \(A C\) ⇒ \(O A = O C\)
• \(O\) là trung điểm của \(B D\) ⇒ \(O B = O D\)

Vì M là trung điểm AB, còn N là trung điểm CD, ta có:

• \(A M = M B\)
• \(C N = N D\)

Trong hình bình hành, \(A B \parallel C D\) nên hai đoạn \(A M\) và \(C N\) nằm trên hai cạnh đối song song.
Do đó các tam giác:

\(\triangle A M O \equiv \triangle C O N\)

(vì có hai cạnh bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau tại \(O\))

Suy ra:

\(A M = C N\)

\(\Rightarrow MC=NA\)

\(A M = M C = C N = N A\)

Tứ giác \(A M C N\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Vì phép quay giữ khoảng cách, nó đưa đoạn \(A M\) thành đoạn \(C N\). Do đó \(A M = C N\). Tương tự phép quay đưa đoạn \(M C\) thành đoạn \(N A\), nên \(M C = N A\).

Do \(A M = C N\) và \(M C = N A\), hai cặp cạnh đối của tứ giác \(A M C N\) bằng nhau theo từng cặp. Hơn nữa các đoạn này nối theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ M \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ N\). Từ hai bằng thức trên suy ra bốn cạnh \(A M , M C , C N , N A\) thực ra đều bằng nhau (vì \(A M = C N\) và \(M C = N A\), mà tiếp nối theo phép quay 180° cho thấy hai giá trị này bằng nhau nhau nữa). Vì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau nên nó là hình thoi.

\(M N \bot A C\) và \(A M C N\) là hình thoi.

\(A B C D\) là hình thoi nên \(B C = C D\) và hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) vuông góc nhau, cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của cả hai

Vì \(E\) nằm trên \(B C\) và \(F\) nằm trên \(C D\) với \(B E = D F\), ta có

\(B E = t \cdot B C , D F = t \cdot C D\)

với cùng một hệ số \(t\) (vì \(B C = C D\)). Nghĩa là \(E\) chia đoạn \(B C\) theo cùng tỉ số \(t\) tính từ \(B\) về \(C\), và \(F\) chia đoạn \(D C\) theo cùng tỉ số \(t\) tính từ \(D\) về \(C\).

Vì \(B C\) và \(D C\) là hai cạnh đối xứng qua đường chéo \(A C\) (trong hình thoi, hai góc tại \(B\) và \(D\) đối xứng nhau qua \(A C\)), khi \(E\) chia \(B C\) theo tỉ số \(t\) thì điểm tương ứng trên \(C D\) chia \(C D\) theo cùng tỉ số phải là chính \(F\). Nói cách khác, \(E\) và \(F\) là ảnh của nhau qua đối xứng qua trục \(A C\). Vì vậy tia \(A E\) và tia \(A F\) cũng đối xứng nhau qua \(A C\).

Gọi \(G = A E \cap B D\) và \(H = A F \cap B D\). Vì \(A E\) và \(A F\) đối xứng nhau qua \(A C\) và \(B D\) nằm ngang (đi qua hai điểm đối xứng \(B , D\)), giao điểm \(G\) và \(H\) sẽ là hai điểm đối xứng nhau qua \(A C\) nằm trên \(B D\). Do đó \(O G = - O H\) nếu \(O\) là giao của hai đường chéo.

Xét các đoạn \(A G , G C , C H , H A\). Vì \(G\) và \(H\) đối xứng qua trục \(A C\) và \(A , C\) nằm trên trục đó, ta có

\(A G = G C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} C H = H A .\)

Từ đối xứng thêm nữa suy ra \(A G = G C = C H = H A\). Nghĩa là bốn cạnh \(A G , G C , C H , H A\) bằng nhau.

Một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. Vậy \(A G C H\) là hình thoi.

Vậy \(A G C H\) là hình thoi.

a)

Công thức thể tích hình chóp là:

\(V = \frac{1}{3} \times S_{đ \overset{ˊ}{a} y} \times h\)\(\)

Tính diện tích đáy:

\(S_{đ \overset{ˊ}{a} y} = a^{2} = 4^{2} = 16\)

Thể tích:

\(V = \frac{1}{3} \times 16 \times 6 = \frac{1}{3} \times 96 = 32\)

Vậy thể tích hình chóp là \(32\) \(\), \(m^{3}\)

b,

\(S_{\text{4m}ặ\text{tb}\hat{\text{e}}\text{n}}=4\times\frac{1}{2}\times a\times\text{chi}\overset{ˋ}{\hat{\text{e}}}\text{u caom}ặ\text{t b}\hat{\text{e}}\text{n}=4\times\frac{1}{2}\times4\times3,18=4\times2\times3,18=25,44\text{m}^2\)

Vì \(25 , 44 > 20\) m² nên được giảm giá 5% trên tổng hóa đơn.

\(T=25,44\times15.000=381.600đ\overset{ˋ}{\hat{\text{o}}}\text{ng}\)

\(Ti\overset{ˋ}{\hat{e}}ngiảm=5\%\times381.600=0,05\times381.600=19.080đồng\)

\(T_{\text{th}ự\text{c}}=381.600-19.080=362.520\overset{}{}đồng\)

a) \(\)

Ta có :

• \(\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 102^{\circ}\)
• Hình chiếc diều có 4 góc: \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} + \hat{D} = 360^{\circ}\)

Tính:

\(\hat{D} = 360^{\circ} - \left(\right. \hat{A} + \hat{B} + \hat{C} \left.\right) = 360^{\circ} - 3 \cdot 102^{\circ} = 360^{\circ} - 306^{\circ} = \boxed{54^{\circ}}\)

Đáp án a: \(\hat{D}=54^{\circ}\)

b) \(\)

Ta có :

• \(O D = 26,7\) cm (O là trung điểm đường chéo \(B D\), vì O là giao điểm 2 đường chéo và là trực tâm)
  ⇒ \(BD=2\cdot OD=2\cdot26,7=53,4cm\)

Đáp án b: \(BD=53,4\operatorname{cm}\)

Câu a:

\(x y + y^{2} - x - y\)

Nhóm và đặt nhân tử chung:

\(= \left(\right. x y + y^{2} \left.\right) - \left(\right. x + y \left.\right) = y \left(\right. x + y \left.\right) - 1 \left(\right. x + y \left.\right) = \left(\right. y - 1 \left.\right) \left(\right. x + y \left.\right)\)

Kết quả:

\(\left(\right.y-1\left.\right)\left(\right.x+y\left.\right)\)

Câu b:

\(\left(\right. x^{2} y^{2} - 8 \left.\right)^{2} - 1\)

hằng đẳng thức dạng:

\(A^{2} - B^{2} = \left(\right. A - B \left.\right) \left(\right. A + B \left.\right)\)

\(A = x^{2} y^{2} - 8\), \(B = 1\)

Áp dụng:

\(= \left(\right. x^{2} y^{2} - 8 - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} - 8 + 1 \left.\right) = \left(\right. x^{2} y^{2} - 9 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} - 7 \left.\right)\)

Kết quả:

\(\left(\right.x^2y^2-9\left.\right)\left(\right.x^2y^2-7\left.\right)\)

\(\)

a,

\(\left(\right. - 12 x^{13} y^{15} + 6 x^{10} y^{14} \left.\right) : \left(\right. - 3 x^{10} y^{14} \left.\right)\)

\(= \frac{- 12 x^{13} y^{15}}{- 3 x^{10} y^{14}} + \frac{6 x^{10} y^{14}}{- 3 x^{10} y^{14}}\)

• \(\frac{- 12 x^{13} y^{15}}{- 3 x^{10} y^{14}} = 4 x^{3} y\)
• \(\frac{6 x^{10} y^{14}}{- 3 x^{10} y^{14}} = - 2\)

Kết quả:

\(4x^3y-2\)

b,

\(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x + y \left.\right) - x^{3} + x^{2} y\)

\(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x + y \left.\right) = x \left(\right. x^{2} - 2 x + y \left.\right) - y \left(\right. x^{2} - 2 x + y \left.\right)\)

Tính

• \(x \left(\right. x^{2} - 2 x + y \left.\right) = x^{3} - 2 x^{2} + x y\)
• \(y \left(\right. x^{2} - 2 x + y \left.\right) = x^{2} y - 2 x y + y^{2}\)

Vậy:

\(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x + y \left.\right) = x^{3} - 2 x^{2} + x y - x^{2} y + 2 x y - y^{2}\)

\(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x^{2} - 2 x + y \left.\right) - x^{3} + x^{2} y = \left(\right. x^{3} - 2 x^{2} + x y - x^{2} y + 2 x y - y^{2} \left.\right) - x^{3} + x^{2} y\)

Rút gọn:

• \(x^{3} - x^{3} = 0\)
• \(- 2 x^{2}\)
• \(x y + 2 x y = 3 x y\)
• \(- x^{2} y + x^{2} y = 0\)
• \(- y^{2}\)

Kết quả:

\(-2x^2+3xy-y^2\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(A = 5 + 2 x y + 14 y - x^{2} - 5 y^{2} - 2 x\)

\(A = - x^{2} + 2 x y - 2 x - 5 y^{2} + 14 y + 5\)

\(A = \left(\right. - x^{2} + 2 x y - 2 x \left.\right) + \left(\right. - 5 y^{2} + 14 y \left.\right) + 5\)

\(- x^{2} + 2 x y - 2 x\)

\(= - \left(\right. x^{2} - 2 x y + 2 x \left.\right)\)

\(A = - x^{2} + 2 x y - 2 x + \left(\right. - 5 y^{2} + 14 y \left.\right) + 5\)

\(- x^{2} + 2 x y - 2 x = - \left(\right. x^{2} - 2 x y + 2 x \left.\right)\).
Giả sử \(x = \frac{1}{2}\), \(y = \frac{3}{2}\), ta thử tính:

\(A = 5 + 2 x y + 14 y - x^{2} - 5 y^{2} - 2 x\) \(= 5 + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} + 14 \cdot \frac{3}{2} - \left(\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)\right)^{2} - 5 \cdot \left(\left(\right. \frac{3}{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}\) \(= 5 + \frac{3}{2} + 21 - \frac{1}{4} - \frac{45}{4} - 1\) \(= 26.5 - 11.5 = 15\)

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(A\) là \(\boxed{15}\), đạt được khi:

\(x = \frac{1}{2} , y = \frac{3}{2}\)