a) Ta có: AD = BC và AD // BC ( tính chất hình bình hành)

Lại có : AD // BC (cmt)

Mà góc ADH và góc CBK là 2 góc ở vị trí so le trong

=> góc ADH = góc CBK (tính chất 2 đường thẳng song song)

Xét hai tam giác vuông: ADH và CBK có:

AD=BC (cmt)

góc ADH = góc CBK (cmt)

⇒ tam giác ADH=ΔCBK (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ AH = CK (hai cạnh t/ứ)

Ta có: AH ⊥ BD (GT)

CK ⊥ BD (GT)

⇒AH // CK (tính chất 2 đường thẳng song song)

Xét tứ giác AHCK có:

AH // CK (cmt)

AH = CK (cmt)

⇒AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (đpcm)

b) Ta có AHCK là hình bình hành (cmt)

I là trung điểm của HK (GT)

⇒I là trung điểm của AC

Ta có ABCD là hình bình hành (GT)

I là trung điểm của AC (cmt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒IB = ID (đpcm)

a) Ta có: AD = BC và AD // BC ( tính chất hình bình hành)

Ta có: AD = BC

Mà AE = ED ( E là trung điểm của AD - GT)

BF = FC ( F là trung điểm của BC - GT)

=> DE = BF

Lại có: AD // BC

Mà E thuộc AD, F thuộc BC (GT)

Xét tứ giác EBFD có:

DE // BF (do AD // BC)

DE = BF (cmt)

=> Tứ giác EBFD hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (đpcm)

b) Ta có : 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O => O là trung điểm của BD.

Lại có: Hình bình hành EBFD có 2 đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ( tính chất hình bình hành)

Mà O là trung điểm của BD (cmt)=> O là trung điểm của EF

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng (đpcm)

Xét tam giác \(\)ABC có:

2 đường trung tuyến \(\)BM và \(\)CN cắt nhau tại \(\)G (GT) => G \(\) là trọng tâm của \(\)tam giác ABC

=> \(\)GM = GB/2 , GN = GC/2 \(\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P \(\)là trung điểm của \(\)GB (GT) => \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(\)Q là trung điểm của GC\(\) (GT) => \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP \(\)và  \(\)GN = GQ

Xét tứ giác \(\)PQMN có: \(\) 

GM = GP (cmt)

\(\)GN = GQ (cmt)

=> Tứ giác \(\)\(\)PQMN có hai đường chéo \(\)MP và NQ\(\) cắt nhau tại trung điểm G\(\) của mỗi đường chéo

=> Tứ giác PQMN là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (đpcm)

a) Ta có : AB // CD ( tính chất hình bình hành)

Mà E thuộc AB, F thuộc CD ( GT)

=> AE // DF

Ta có: AB = BE ( B là trung điểm của AE - GT)

DC = EC ( C là trung điểm của DF - GT)

Mà AE = AB + BE

DF = DC + EC

=> AE = DF

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (cmt)

AE = DF (cmt)

=> Tứ giác AEFD là hình bình hành (đpcm)

Theo cmt ta có:

AB = BE (cmt)

DC = EC (cmt)

AE = DF (cmt)

=> AB = CF

Theo cmt lại có:

AE // DF (cmt)

Mà B thuộc AE, C thuộc DF (cmt)

=> AB // CF

Xét tứ giác ABFC có :

AB = CF (cmt)

AB // CF (cmt)

=> Tứ giác ABFC là hình bình hành (đpcm)

b) Gọi giao điểm của 2 đường chéo AF và DE của hình bình hành AEFD hay chính là trung điểm của AF và DE là O (1)

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC

Mà O là trung điểm của AF (tính chất hình hành)

Suy ra O cũng là trung điểm của BC (2)

=> Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau (đpcm)

Ta có : AB // DC ( tính chất hình bình hành)

Mà góc BAC và góc ACD là 2 góc ở vị trí so le trong

=> Góc BAC = Góc ACD ( dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)

Lại có: Đường chéo Ab cắt đường chéo DC tại O

=> AO = CO ( tính chất hình bình hành)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN:

Góc BAC = Góc ACD (cmt)

AO = CO (cmt)

Góc AOM = Góc CON (2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g)(đpcm)

=> AM = CN ( 2 cạnh t/ứ)

Ta có: AB = AM + BM , DC = DN + CN

Mà AB = CD ( tính chất hình bình hành)

AM = CN (cmt)

=> BM = DN

Lại có : AB // DC ( tính chất hình bình hành)

Mà M thuộc AB, N thuộc DC ( GT) => BM // DN

Xét tứ giác MBND có:

BM = DN (cmt)

BM // DN (cmt)

=> Tứ giác MBND là hình bình hành (đpcm)

a) Ta có:

AE = BE ( E là trung điểm của AB - GT )

DF = CF ( F là trung điểm của CD - GT )

Mà AB = CD ( tính chất hình bình hành)

=> AE = DF = FC

Lại có :

AB // DC ( tính chất hình bình hành)

Mà E thuộc AB, F thuộc DC (GT)

=> AE // DF , AE // FC

Xét tứ giác AEFD có:

AE = DF (cmt)

AE // DF (cmt)

=> Tứ giác AEFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (đpcm)

Xét tứ giác AEFC có:

AE = FC (cmt)

AE // FC (cmt)

=> Tứ giác AEFC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (đpcm)

b) Theo cmt, ta có: AEFD là hình bình hành

Mà AD và EF là 1 cặp cạnh đối

=> AD = EF ( tính chất hình bình hành) (đpcm)

Theo cmt, ta có: AEFC là hình bình hành

Mà AF và EC là 1 cặp cạnh đối

=> AF = EC ( tính chất hình bình hành) (đpcm)