a) vì AH,CD vuông góc với BD ( gt)

Suy ra AH//CK

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

Suy ra AD=BC ,AD//BC

Xét tam giác ADH và tam giác CBK ta có

Góc AHD = góc CBK =90° ( gt)

AD=BC( cmt)

Góc ADH= góc CBK ( do AD// BC)

Suy ra tam giác ADH= tam giác CBK ( ch-gn)

Suy ra AH= CK ( hai cạnh tương ứng)

Mà AH//CK ( cmt)

Suy ra AHCK là hình bình hành

b) vì AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm

Mà I là trung điểm của HK

Ta lại có ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm

Suy ra I là trung điểm của BD hay

IB= ID

VÌ ABCD là hình bình hành ( giả thiết )

Suy ra AB = BC AD//BC

Mà E,F là trung điểm của AD ,BC( giả thiết)

Suy ra AE= ED=BF=FC

Xét tứ giác EBFD ta có

FD= ED( chứng minh trên)

ED//BF( do AD // BC)

Suy ra EBFD là hình bình hành

b) vì ABCD là hình bình hành( giả thiết)

Suy ra Q là trung điểmAC và BD

Mà DEBF là hình bình hành ( giả thiết )

Suy ra O cũng là trung điểm EF

Suy ra E,O,F thẳng hàng

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhai tại G( giả thiết ) nên G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GM= GB/2 GN= GC/2 ( tính chất trọng tâm củatam giác) (1)

Mà p là trung điểm của GB( giả thiết) nên GB = PB GB/2 (2)

Q là trung điểm GC ( giả thiết )nên GQ=QC GC /2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM= GP và GM= GQ ( chứng minh trên)

Xét tứ giác PQMN có GM=GP và GN = GQ ( chứng minh trên)

Do tứ giác PQMN cs hai đường chéo MN và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường là hình bình hành

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhai tại G( giả thiết ) nên G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra GM= GB/2 GN= GC/2 ( tính chất trọng tâm củatam giác) (1)

Mà p là trung điểm của GB( giả thiết) nên GB = PB GB/2 (2)

Q là trung điểm GC ( giả thiết )nên GQ=QC GC /2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM= GP và GM= GQ ( chứng minh trên)

Xét tứ giác PQMN có GM=GP và GN = GQ ( chứng minh trên)

Do tứ giác PQMN cs hai đường chéo MN và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường là hình bình hành

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB//CD ,DC//AB, suy ra AE//DF = 2AB =2CD= DF

Suy ra AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành

b) vì AFCD là hình bình hành nên AFcắt BC tại trung điểm mỗi đường

Vậy ba trung điểm của AF,DE,BC trùng nhau

Từ tam giác OMA = tam giác OCN (chứng minh trên) ta suy ra OM =ON ( hai cạnh tương ứng )

Xét tứ giác MBND , ta có

Hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại O

OM =ON ( chứng minh trên )

OB =OD ( tính chất hai đường chéo của hình bình hành ABCD cắt nhau tại trung điểm của mối đường )

Vì hai đường chéo của tứ giác MBND cắt ngau tại trung điển của mối đường nên MBND là hình bình hành )

Tam giác OMA = tam giác OCN ( theo trường hợp góc - cạnh - góc )

Tứ giác MBND là hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD E là trung điểm của AB

Suy ra AE =EB=1/2 AB

F là trung điểm của CD

Suy ra CF=FD=1/2 CD

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD và AB=CD

Do đó AE//CF và AE=CF

a) Xét tứ giác AEFD cs

AE//DF ( vì AB//CD)

AE=DF( vì AE =1/2 AB và DF =1/2 CD mà AB =CD)

Do đó ,AEFD là hình bình hành ( tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Xét tứ giác AECF có

AE //CF ( vì AB // CD

mà AB =CD)

Do đó ,AECF là hình bình hành ( tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

b) vì AEFD là hình bình hành ( đã chứng minh ở câu a ) nên cạnh đối của nó bằng nhau

Do đó EF=AD

Vì tứ giác AECF là hình bình hành ( đã chứng minh ở câu a) nên các cạnh đối của nó bằng nhau

Do đó AF= EC

Vậy EF=AD và AF = EC