Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2=2mx+2m-3\)
\(x^2-2mx-2m+3=0\)
+) a = 1 , b = \(-2mx\Rightarrow b^{\prime}=-mx\) , c = \(-2m+3\)
+) \(\Delta^{\prime}\) = \(\left(b^{\prime}\right)^2-ac=\left(-m\right)^2-1.\left(-2m+3\right)=m^2+2m-3\)
Để đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) tiếp xúc với parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) thì Δ′ = 0
\(m^2+2m-3=0\)
\(\left(m-1\right)\left(m+3\right)=0\)
Suy ra \(m-1=0\) hoặc \(m+3=0\)
+) \(m-1=0\) hay \(m=1\)
+) \(m+3=0\) hay \(m=-3\)
Vậy \(m=1\) và \(m=-3\) là giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2=-x+m+2\)
\(x^2+x-m-2=0\)
+) a= 1 , b = 1 , c = \(-m-2\)
+) Δ = \(b^2-4ac\) = \(1^2-4.1.\left(-m-2\right)\) = 1 \(+4m+8\) = \(4m+9\)
Để đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) và parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) có một điểm chung duy nhất thì Δ = 0
\(4m+9=0\)
\(4m=-9\)
\(m=\frac{-9}{4}\)
Vậy \(m=-\frac94\) là giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(x^2=(m-1)x+m+4\)
\(x^2-(m-1)x-m-4=0\)
Để d cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì thì phương trình trên có hai nghiệm trái dấu hay ac<0
\(1^2.\left(-m-4\right)<0\)
\(-m-4<0\)
\(-m<4\)
\(m>4\)
Vậy \(m>4\) thì d cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
\(\frac12x^2\) = \(2x+m\)
\(\frac12x^2-2x-m=0\)
+) a = \(\frac{1}{2}\) , b = -2 \(=>\) b' = -1 , c = \(-m\)
+) Δ′ = \(\left(b^{\prime}\right)^2\) - ac = \(\left(-1\right)^2\) - \(\frac12.\left(-m\right)\) = 1 + \(\frac12m\)
Để đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right) : y = 2 x + m\) cắt \(\left(\right. P \left.\right) : y = \frac{1}{2} x^{2}\) tại hai điểm phân biệt thì Δ′ > 0
\(1+\frac12m>0\)
\(\frac12m>-1\)
\(m=-1:\frac12\)
\(m=-2\)
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm

Vì đồ thị hàm số \(y = \left(\right. 1 - m \left.\right) x^{2}\) cắt đường thẳng \(y = - x + 3\) tại điểm có tung độ bằng \(2\) nên ta có:
2 = −x+3
x = 3 − 2
x = 1
Vậy điểm cắt có tọa độ là (1;2)
Vì đồ thị hàm số  \(y=\left(\right.1-m\left.\right)x^2\) cắt đường thẳng y=−x+3 tại tọa độ (1;2) nên ta có:
2 = (1−m).1
2 = 1 - m
m = 1 - 2
m = -1
Vậy m = -1 thì đồ thị hàm số \(y = \left(\right. 1 - m \left.\right) x^{2}\) cắt đường thẳng \(y = - x + 3\) tại điểm có tung độ bằng \(2\)