Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) (d) và ( P ) (P) là x 2 = 2 m x + 2 m − 3 x 2 =2mx+2m−3 x 2 − 2 m x − 2 m + 3 = 0 x 2 −2mx−2m+3=0 (1) Δ ′ = ( − m ) 2 − ( − 2 m + 3 ) = m 2 + 2 m − 3 Δ ′ =(−m) 2 −(−2m+3)=m 2 +2m−3 Để ( d ) (d) tiếp xúc với parabol ( P ) (P) thì phương trình (1) có nghiệm kép hay Δ ′ = 0 Δ ′ =0 m 2 + 2 m − 3 = 0 m 2 +2m−3=0 ( m − 1 ) ( m + 3 ) = 0 (m−1)(m+3)=0 m = 1 m=1 hoặc m = − 3 m=−3 Vậy m = 1 m=1 hoặc m = − 3 m=−3 là các giá trị cần tìm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của ( P ) : y = x 2 (P):y=x 2 và ( d ) : y = − x + m + 2 (d):y=−x+m+2: x 2 = − x + m + 2 x 2 =−x+m+2 x 2 + x − m − 2 = 0 x 2 +x−m−2=0 (1). Để ( d ) (d) và ( P ) (P) có một điểm chung duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm kép Δ = 0 Δ=0 1 2 − 4.1. ( − m − 2 ) = 0 1 2 −4.1.(−m−2)=0 1 + 4 m + 8 = 0 1+4m+8=0 4 m = − 9 4m=−9 m = − 9 4 m= 4 −9 . Vậy m = − 9 4 m=− 4 9 là giá trị cần tìm.

Hoành độ giao điểm của ( P ) (P) và d d là nghiệm của phương trình: x 2 = ( m − 1 ) x + m + 4 x 2 =(m−1)x+m+4 x 2 − ( m − 1 ) x − m − 4 = 0 x 2 −(m−1)x−m−4=0 (1) ( P ) (P) cắt d d tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hay a c < 0 ac<0 − m − 4 < 0 −m−4<0 m > 4 m>4. Vậy m > 4 m>4 thì ( P ) (P) cắt d d tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( P ) (P) và ( d ) (d) là 1 2 x 2 = 2 x + m 2 1 x 2 =2x+m x 2 = 4 x + 2 m x 2 =4x+2m x 2 − 4 x − 2 m = 0 x 2 −4x−2m=0 Δ ′ = ( − 2 ) 2 − 1. ( − 2 m ) = 4 + 2 m Δ ′ =(−2) 2 −1.(−2m)=4+2m ( d ) (d) cắt ( P ) (P) tại hai điểm phân biệt khi Δ ′ > 0 Δ ′ >0 4 + 2 m > 0 4+2m>0 m > − 2 m>−2. Vậy m > − 2 Vậy m>−2 là giá trị cần tìm.

Vì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = − x + 3 y=−x+3 tại điểm có tung độ bằng 2 2 nên giao điểm đó có hoành độ x x thỏa mãn: 2 = − x + 3 2=−x+3 hay x = 1 x=1. Thay x = 1 , y = 2 x=1,y=2 vào (1) ta có: 2 = ( 1 − m ) . 1 2 2=(1−m).1 2 1 − m = 2 1−m=2 m = − 1 m=−1. Vậy giá trị m m thỏa mãn điều kiện bài toán là m = − 1 m=−1.