Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là

\(x^{2} = 2 m x + 2 m - 3\)

\(x^{2} - 2 m x - 2 m + 3 = 0\) (1)

\(\Delta^{'} = \left(\right. - m \left.\right)^{2} - \left(\right. - 2 m + 3 \left.\right) = m^{2} + 2 m - 3\)

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) tiếp xúc với parabol \(\left(\right. P \left.\right)\) thì phương trình (1) có nghiệm kép hay \(\Delta^{'} = 0\)

\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

\(\left(\right. m - 1 \left.\right) \left(\right. m + 3 \left.\right) = 0\)

\(m = 1\) hoặc \(m = - 3\)

Vậy \(m = 1\) hoặc \(m = - 3\) là các giá trị cần tìm.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right) : y = x^{2}\) và \(\left(\right. d \left.\right) : y = - x + m + 2\):

\(x^{2} = - x + m + 2\)

\(x^{2} + x - m - 2 = 0\) (1).

Để \(\left(\right. d \left.\right)\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) có một điểm chung duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm kép

\(\Delta = 0\)

\(1^{2} - 4.1. \left(\right. - m - 2 \left.\right) = 0\)

\(1 + 4 m + 8 = 0\)

\(4 m = - 9\)

\(m = \frac{- 9}{4}\).

Vậy \(m = - \frac{9}{4}\) là giá trị cần tìm.

Hoành độ giao điểm của \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(d\) là nghiệm của phương trình:

\(x^{2} = \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 4\)

\(x^{2} - \left(\right. m - 1 \left.\right) x - m - 4 = 0\) (1)

\(\left(\right. P \left.\right)\) cắt \(d\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hay \(a c < 0\)

\(- m - 4 < 0\)

\(m > 4\).

Vậy \(m > 4\) thì \(\left(\right. P \left.\right)\) cắt \(d\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị \(\left(\right. P \left.\right)\) và \(\left(\right. d \left.\right)\) là

\(\frac{1}{2} x^{2} = 2 x + m\)

\(x^{2} = 4 x + 2 m\)

\(x^{2} - 4 x - 2 m = 0\)

\(\Delta^{'} = \left(\right. - 2 \left.\right)^{2} - 1. \left(\right. - 2 m \left.\right) = 4 + 2 m\)

\(\left(\right. d \left.\right)\) cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt khi \(\Delta^{'} > 0\)

\(4 + 2 m > 0\)

\(m > - 2\).

Vậy \(m > - 2\) là giá trị cần tìm.

Vì đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(y = - x + 3\) tại điểm có tung độ bằng \(2\) nên giao điểm đó có hoành độ \(x\) thỏa mãn: \(2 = - x + 3\) hay \(x = 1\).

Thay \(x = 1 , y = 2\) vào (1) ta có:

\(2 = \left(\right. 1 - m \left.\right) . 1^{2}\)

\(1 - m = 2\)

\(m = - 1\).

Vậy giá trị \(m\) thỏa mãn điều kiện bài toán là \(m = - 1\).