Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = \left(\right. m - 1 \left.\right) x + m + 4\)

=>\(x^{2} - \left(\right. m - 1 \left.\right) x - \left(\right. m + 4 \left.\right) = 0\)(1)

Để (P) cắt (d) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

=>\(a \cdot c < 0\)

=>\(1 \cdot \left[\right. - \left(\right. m + 4 \left.\right) \left]\right. < 0\)

=>-(m+4)<0

=>m+4>0

=>m>-4

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = - x + m + 2\)

=>\(x^{2} + x - m - 2 = 0 \left(\right. 1 \left.\right)\)

Để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất thì phương trình (1) phải có nghiệm kép

=>Δ=0

=>\(1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - m - 2 \left.\right) = 0\)

=>1+4(m+2)=0

=>4m+8+1=0

=>4m=-9

=>\(m = - \frac{9}{4}\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^{2} = 2 m x + 2 m - 3\)

=>\(x^{2} - 2 m x - 2 m + 3 = 0\)(1)

Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (1) có nghiệm kép

=>Δ=0

=>\(\left(\left(\right. - 2 m \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. - 2 m + 3 \left.\right) = 0\)

=>\(4 m^{2} + 8 m - 12 = 0\)

=>\(m^{2} + 2 m - 3 = 0\)

=>(m+3)(m-1)=0

=>\(\left[\right. m + 3 = 0 \\ m - 1 = 0\)

=>\(\left[\right. m = - 3 \\ m = 1\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

\(2 x + m = \frac{1}{2} x^{2}\)

\(x^{2} = 4 x + 2 m\)

\(x^{2} - 4 x - 2 m = 0\)

\(\Delta = \left(\left(\right. - 4 \left.\right)\right)^{2} - 4.1. \left(\right. - 2 m \left.\right) = 16 + 8 m\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì \(\Delta > 0\)

\(16 + 8 m > 0\)

\(8 m > - 16\)

\(m > - 2\)

Vậy m > -2 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

ĐKXĐ: \(m \neq 1\)

Thay y = 2 vào đường thẳng \(y = - x + 3\), ta có:

\(- x + 3 = 2\)

\(- x = 2 - 3\)

\(- x = - 1\)

\(x = 1\)

Thay \(x = 1 ; y = 2\) vào (1), ta có:

\(\left(\right. 1 - m \left.\right) . 1^{2} = 2\)

\(1 - m = 2\)

\(m = 1 - 2\)

\(m = - 1\) (nhận)

Vậy \(m = - 1\) thì đồ thị hàm số \(y = \left(\right. 1 - m \left.\right) x^{2}\) cắt đường thẳng \(y = - x + 3\) tại điểm có tung độ bằng 2