Ta có:

\(\frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} \geq 3\)

\(\Leftrightarrow \frac{4 x^{2} y^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} - 1 + \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}} - 2 \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{4 x^{2} y^{2} - \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \left(\left(\right. \frac{x}{y} - \frac{y}{x} \left.\right)\right)^{2} \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{- \left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} + \frac{\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2}}{x^{2} y^{2}} \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2} \left(\right. \frac{1}{x^{2} y^{2}} - \frac{1}{\left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \left.\right) \geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{\left(\right. x^{2} - y^{2} \left.\right)^{2} \left(\right. x^{4} + y^{4} + x^{2} y^{2} \left.\right)}{x^{2} y^{2} \left(\right. x^{2} + y^{2} \left.\right)^{2}} \geq 0\) (luôn đúng)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(x = y\)

a,Ta có: đường cao AH 

=> AH vuông góc BC => AHB = 90`

Tam giác ABC vuông tại A

=> ABC = 90`

Xét hai tam giác ABC và HBA có:

• AHB = ABC (=90`)
• chung góc B

=>    Δ ABC ~ Δ HBA (g-g)

=> \(\frac{A B}{H B} = \frac{B C}{B A}\) ( các cạnh tưng ứng )

​=> AB.BA=HB.BC \(A B^{2}\) = BC.BH

​Vậy ΔABC ~ ΔHBA ; \(A B^{2}\)= BC.BH

b,Vì BD là đg p/g của góc ABC ta có;

Góc ABD = Góc EBH

Xét Tam giác ABE và Tam giác HBE ;

Góc ABE=Góc HBE(BD là p/g)

Góc BAE=Góc BHE(=90)

BE là cạnh chung

Do đó,Tam giác ABE đồng dạng với tam giác HBE(g-g)

Suy ra Góc AEB = góc HEB

Vì I là tđ của ED , ta có:

Góc AEI =Góc AEB

Góc HEI =Góc HEB

Xét Tam giác AEI và tam giác HEB có:

Góc AEI =Góc HEB

Góc IAE =Góc BHE(=90)

Do đó , tam giác AEI đồng dạng với tam giác HEB (g-g)

EI/EH=EA/EB

EI.EB=EH.EA

Gọi quãng đường AB là: \(x \left(\right. k m , x > 0 \left.\right)\)

Vận tốc trung bình là 15km/h nên vận tốc lúc về là: \(2 \cdot 15 - 12 = 18 \left(\right. k m / h \left.\right)\)

Thời gian đi là: \(\frac{x}{12} \left(\right. h \left.\right)\)

Thời gian về là: \(\frac{x}{18} \left(\right. h \left.\right)\)

Lúc về nhiều hơn lúc đi 45 phút ta có phương trình:

\(\frac{x}{12} - \frac{x}{18} = \frac{3}{4}\) 

\(\Leftrightarrow x \left(\right. \frac{1}{12} - \frac{1}{18} \left.\right) = \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow x \cdot \frac{1}{36} = \frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{3}{4} : \frac{1}{36}\)

\(\Leftrightarrow x = 27 \left(\right. k m \left.\right)\)

Vậy: AB=27 km

a,

\(\frac{3 x + 15}{x^{2} - 9} + \frac{1}{x + 3} - \frac{2}{x - 3} = \frac{3 \cdot \left(\right. x + 5 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)} + \frac{1}{x + 3} - \frac{2}{x - 3} = \frac{3 \cdot \left(\right. x + 5 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)} + \frac{x - 3}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x - 3 \left.\right)} - \frac{2 \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)}\)\(= \frac{3 \cdot \left(\right. x + 5 \left.\right) + x - 3 - 2 \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{3 x + 15 + x - 3 - 2 x - 6}{\left(\right. x - 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)} = \frac{2 x + 6}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x - 3 \left.\right)} = \frac{2 \cdot \left(\right. x + 3 \left.\right)}{\left(\right. x + 3 \left.\right) \cdot \left(\right. x - 3 \left.\right)} = \frac{2}{x - 3}\)

b,

để \(\frac{2}{x - 3} = \frac{2}{3}\) thì \(x - 3 = 3\)

\(\Rightarrow x = 3 + 3 = 6\)

vậy  \(x = 6\) thì \(A = \frac{2}{3}\)

​a,A=x mũ 2 -2x+1/x mũ 2 -1

=(x-1) mũ 2/(x-1)(x+1)

=x+1​

b, Khi x=3 thì :

\(\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Khi x=-3/2 thì :

\(\frac{- \frac{3}{2} - 1}{- \frac{3}{2} + 1} = \frac{- \frac{3}{2} - \frac{2}{2}}{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} = \frac{- \frac{5}{2}}{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) = \frac{10}{2} = 5\)

c, Để A nhận giá trị nguyên ta có :

\(\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{2}{x + 1}\)

Vậy \(x+1\inƯ\left(\right.2\left.\right)={\left\lbrace\pm1;\pm2\left.\right.\right\rbrace}\)

-> x+1=1=>x=0

->x+1=-1=>x=-2

->x+1=2=>x=1

->x+1=-2=>x=-3

a: Xét ΔKNM vuông tại K và ΔMNP vuông tại M có

\(\hat{N}\) chung

Do đó: ΔKNM~ΔMNP

Xét ΔKNM vuông tại K và ΔKMP vuông tại K có

\(\hat{K N M} = \hat{K M P} \left(\right. = 9 0^{0} - \hat{K M N} \left.\right)\)

Do đó; ΔKNM~ΔKMP

b: Ta có: ΔKNM~ΔKMP

=>\(\frac{K N}{K M} = \frac{K M}{K P}\)

=>\(K M^{2} = K N \cdot K P\)

c: Xét ΔMNP vuông tại M có MK là đường cao

nên \(M K^{2} = K N \cdot K P\)

=>\(M K^{2} = 4 \cdot 9 = 36 = 6^{2}\)

=>\(M K = \sqrt{6^{2}} = 6 \left(\right. c m \left.\right)\)

PN=PK+NK

=4+9=13(cm)

Xét ΔMNP có MK là đường cao

nên \(S_{M N P} = \frac{1}{2} \cdot M K \cdot N P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 13 = 3 \cdot 13 = 39 \left(\right. c m^{2} \left.\right)\)\(\)

B=1/(x mũ 2 - 4x + 9)=1/[(x-2) mũ 2 +5]

Ta thấy rằng mẫu số của phân số luôn lớn hơn 0 và nhỏ nhất khi (x-2) mũ 2 = 0 , tức là x=2

Khi đó, mẫu số đạt giá trị nhỏ nhất là 5

Do đó, biểu thức A sẽ đạt giá trị lớn nhất khi x=2 và giá trị lớn nhất đó sẽ là 1/5

a) 7x + 2 = 0

7x = 0 - 2

7x = -2

x = -2/7

Vậy x = {-2/7}

b) 18 - 5x = 7 + 3x

3x + 5x = 18 - 7

8x = 11

x = 11/8

Vậy x = 11/8