Có x8−x7+x5−x4+x3−x+1=x10+x5+1x2+x+1x8−x7+x5−x4+x3−x+1=x10+x5+1x2+x+1
x10+x5+1=(x5+12)2+34x10+x5+1=(x5+12)2+34
⇒x10+x5+1>0⇒x10+x5+1>0
x2+x+

Có x8−x7+x5−x4+x3−x+1=x10+x5+1x2+x+1x8−x7+x5−x4+x3−x+1=x10+x5+1x2+x+1
x10+x5+1=(x5+12)2+34x10+x5+1=(x5+12)2+34
⇒x10+x5+1>0⇒x10+x5+1>0
x2+x+

Cho a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab+bc+ac=3abc. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{\frac{a b}{a + b + 1}} + \sqrt{\frac{b c}{b + c + 1}} + \sqrt{\frac{c a}{c + a + 1}} \geq \sqrt{3}\)

 Xét \(f \left(\right. x \left.\right) = V T = x^{2} + y^{2} + x y - 3 x - 3 y + 3\)

\(= x^{2} + \left(\right. y - 3 \left.\right) x + y^{2} - 3 y + 3\)

 Có \(\Delta = \left(\left(\right. y - 3 \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. y^{2} - 3 y + 3 \left.\right)\)

\(= y^{2} - 6 y + 9 - 4 y^{2} + 12 y - 12\)

\(= - 3 y^{2} + 6 y - 3\)

\(= - 3 \left(\left(\right. y - 1 \left.\right)\right)^{2} \leq 0\) với mọi \(y \in R\)

 Mà \(f \left(\right. x \left.\right)\) có hệ số cao nhất bằng \(1 > 0\) nên từ đây có \(V T = f \left(\right. x \left.\right) \geq 0\)

 Dấu "=" xảy ra khi \(y = 1\). Khi đó \(\Delta = 0\) nên pt \(f \left(\right. x \left.\right) = 0\) có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\) \(x = \frac{- \left(\right. y - 3 \left.\right)}{2} = 1\).

 Ta có đpcm.

Cho ba số \(x , y , z\) thỏa mãn điều kiện  \(z \geq y \geq x \geq 0\). Chứng minh rẳng

     \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

Cho ba số \(x , y , z\) thỏa mãn điều kiện  \(z \geq y \geq x \geq 0\). Chứng minh rẳng

     \(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0\)

để giỏi toán hơn