Vì ABCD Là hình bình hành nên AD//BC và AD=BC

Do AD//BC nên góc ADB =góc CBD (hai góc so le trong)

Xét ∆DHA Vuông tại H và CKB vuông tại K có

Góc AHD =góc CKB =90°

AD =BC ( chứng minh trên)

Góc ADB=góc CBK ( vì AD//BC )

Do đó ∆DHA =∆CKB(cạnh huyền -góc nhọn)

Suy ra AH=CK ( hai cạnh tương ứng)

Ta có AH vuông góc với DB và CK vuông góc với DB nên AH//CK

Xét tứ giác AHCK có

AH=CK ( chứng minh trên)

AH//CK (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác AHCK là hình bình hành

Vậy tứ giác AHCK là hình bình hành

b) vì hình bình hành ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại Trung điểm của mỗi đường

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Suy ra O là trung điểm của AC nên I = O do đó I là trung điểm của BD

Vì I là trung điểm của BD nên

IB=ID ( điều phải chứng minh)

Vậy IB=ID

a)Vì ABCD Là hình bình hành nên

AD//BC và AD=BC

Mà AD //BC nên ED//BF

Vì AD=BC(1)

Mà E là trung điểm của AD nên ED=AE =AD:2 (2)

Mà F là trung điểm của BC nên

BF=CF =BC :2 (3)

Từ (1),(2),(3) ta suy ra

ED=BF

Xét tứ giác EBFD có

ED//BF (chứng minh trên)

ED=BF(chứng minh trên)

Suy ra tứ giác EBFD là hình bình hành

Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành

b)

Xét ∆ABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của ∆ABC .suy ra GM=GB:2 ,GN=GC:2(tính chất trọng tâm tam giác)(1)

Mà P là trung điểm của GB nênGP=PB=GB:2 (2)

Mà Q là trung điểm của GC nên GQ=QC =GC:2 (3)

Từ (1),(2),(3) ta suy ra GM=GP ,GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có

GM=GP( chứng minh trên)

GN=GQ(chứng minh trên)

Suy ra PQMN là hình bình hành

Vậy PQMN là hình bình hành

a)Vì ABCD là hình bình hành nên

AB//CD và AB=CD

Từ đó suy ra AE//DF

AE=2AB=2CD=DF

xét tứ giác AEFD có

AE=DF( chứng minh trên)

AE//DF (chứng minh trên)

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành

Vì AEFD là hình bình hành nên AE=FD (1)

Mà AB=1/2 AE (2)

CF=1/2 FD ( 3)

Từ (1),(2),(3) ta suy ra AB=CF

Vì AEFD là hình bình hành suy ra AE//FD

Mà AE //FD nên AB//CF

Xét tứ giác ABFC có

AB//CF( chứng minh trên)

AB=CF ( chứng minh trên)

Suy ra tứ giác ABFC là hình bình hành

Vậy tứ giác ABFC là hình bình hành

b) vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt EF tại Trung điểm mỗi đường

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại Trung điểm của mỗi đường

Vậy ba trung điểm của AF ,DE,BC trùng nhau

+)Vì ABCD Là hình bình hành suy ra

AB//CD và AB=CD

Mà AB//CD nên góc OAM= góc OCN( tính chất hai đường thẳng song song )

Xét ∆OAM và ∆OCN có

Góc OAM=góc OCN (chứng minh trên )

OC=OA( vì AC là 1 đường chéo của hình bình hành nên O là trung điểm AC

Góc CON= góc AOM
Ta suy ra ∆OAM=∆OCN(g.c.g)

+)Vì ∆OAM=∆OCN(cmt) nên

AM=CN ( hai cạnh tương ứng ) (1)

Ta có AB=CD ( vì ABCD Là hình bình hành ) (2)

Mà AM+MB=AB (3)

CN+DN=CD (4)

Từ (1),(2),(3),(4) ta suy ra MB=DN

Vì ABCD là hình bình hành ta suy ra AB//CD

Mà AB//CD nên MB//DN

Xét tứ giác MBND có

MB=DN( chứng minh trên)

MB//DN(chứng minh trên)

Suy ra tứ giác MBND hình bình hành

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành.

a).vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD và AB//CD

Mà E,F là trung điểm của AB nên AE=EB=DF=FC

Xét tứ giác AEFD có

AE//DF (Vì AB //CD)

AE=DF(chứng minh trên)

Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có

AE//FC(vì AB//CD)

AE=FC(chứng minh trên)

Suy ra tứ giác AECF là hình bình hành

Vậy tứ giác AEFD và AECF đều là hình bình hành

b)vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên AD=EF

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF=EC

VẬY AD=EF ,AF=EC