a) Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\) (so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D} \&\text{nbsp}; = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H} \&\text{nbsp}; = \hat{C B K}\) (do \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\)).

Do đó \(\Delta \&\text{nbsp}; A D H = \Delta \&\text{nbsp}; C B K\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(A H \bot \&\text{nbsp}; D B\) và \(C K \bot \&\text{nbsp}; D B\) nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\) nên \(A H C K\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\).

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\) (giả thiết) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta A B C\).

Suy ra \(G M = \frac{G B}{2}\); \(G N = \frac{G C}{2}\) (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà \(P\) là trung điểm của \(G B\) (giả thiết) nên \(G P = P B = \frac{G B}{2}\) (2)

\(Q\) là trung điểm của \(G C\) (giả thiết) nên \(G Q = Q C = \frac{G C}{2}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(G M = G P\) và \(G N = G Q\).

Xét tứ giác \(P Q M N\) có: \(G M = G P\) và \(G N = G Q\) (chứng minh trên)

Do đó tứ giác \(P Q M N\) có hai đường chéo \(M P\) và \(N Q\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành A B C D nên O là trung điểm của đường chéo A C và cũng là trung điểm của đường chéo B D. Do đó đoạn O A bằng đoạn O C và đoạn O B bằng đoạn O D.

Đường thẳng đi qua O cắt cạnh A B tại M và cắt cạnh C D tại N. Vì A B song song với C D và A B bằng C D nên khi ta xét theo phép đối xứng tâm lấy O làm tâm, điểm A sẽ đối xứng với điểm C, điểm B đối xứng với điểm D và điểm M đối xứng với điểm N. Do đó đoạn O M bằng đoạn O N và góc giữa hai đoạn O A và O M bằng góc giữa hai đoạn O C và O N.

Vì có hai cạnh tương ứng bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau nên tam giác O A M bằng tam giác O C N.

Từ phép đối xứng tâm O, ta cũng có điểm B đối xứng với điểm D, nên đoạn M B song song với đoạn N D và đoạn M B bằng đoạn N D. Tương tự, đoạn B N song song với đoạn D M và bằng nhau.

Vì tứ giác có hai cặp cạnh đối song song nên tứ giác M B N D là hình bình hành.

Kết luận:
Tam giác O A M bằng tam giác O C N. Do đó tứ giác M B N D là hình bình hành.

Cho hình bình hành A B C D.
Gọi E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh A B và C D.
Chứng minh rằng:

a) Hai tứ giác A E F D và A E C F là hình bình hành.
b) Đoạn E F bằng đoạn A D, đoạn A F bằng đoạn E C.

Bài làm

Câu a:
Vì E là trung điểm của cạnh A B nên đoạn A E bằng đoạn E B.
Vì F là trung điểm của cạnh C D nên đoạn C F bằng đoạn F D.

Mà hình A B C D là hình bình hành nên cạnh A B song song với cạnh C D và cạnh A B bằng cạnh C D.

Do đó đoạn A E song song với đoạn F D và đoạn A E bằng đoạn F D.

Mặt khác, trong hình bình hành thì cạnh A D song song với cạnh B C, mà điểm E nằm trên cạnh A B và điểm F nằm trên cạnh C D nên đoạn E F cũng song song với đoạn A D.

Như vậy, trong tứ giác A E F D có hai cặp cạnh đối song song với nhau.

⇒ Tứ giác A E F D là hình bình hành.

Tương tự, ta cũng chứng minh được tứ giác A E C F là hình bình hành, vì trong tứ giác này, đoạn A E song song với đoạn C F và đoạn E C song song với đoạn A F.

⇒ Tứ giác A E C F là hình bình hành.

Câu b:
Vì tứ giác A E F D là hình bình hành nên hai cạnh đối của nó bằng nhau.
Do đó, đoạn E F bằng đoạn A D.

Tương tự, vì tứ giác A E C F là hình bình hành nên hai cạnh đối của nó cũng bằng nhau.
Vì vậy, đoạn A F bằng đoạn E C.

Kết luận:

a) Hai tứ giác A E F D và A E C F là hình bình hành.
b) Đoạn E F bằng đoạn A D và đoạn A F bằng đoạn E C.