a) Xét hai tam giác \(\triangle M A D\) và \(\triangle M D C\)

Ta có:

• \(M A = M D\) (giả thiết)
• \(M C = M B\) (vì \(M\) là trung điểm của \(B C\))
• \(\angle A M D = \angle D M C\) (hai góc đối đỉnh)

⇒ \(\triangle M A D = \triangle M D C\) (c.g.c) b) Gọi \(K\) là trung điểm của \(A C\), chứng minh \(K B = K D\)

Từ giả thiết:

• \(M\) là trung điểm của \(A D\) và \(B C\)

⇒ Hai đường chéo \(A D\) và \(B C\) cắt nhau tại trung điểm
⇒ Tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành

Trong hình bình hành:

• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm ⇒ \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm

Vì \(K\) là trung điểm của \(A C\) ⇒ \(K\) cũng là trung điểm của \(B D\)

⇒ \(K B = K D\)

**c) Gọi \(K D\) cắt \(B C\) tại \(I\), \(K B\) cắt \(A D\) tại \(N\).

Chứng minh \(\angle K N I = \angle K I N\)**

Xét tam giác \(K B D\):

• \(K B = K D\) ⇒ tam giác \(K B D\) cân tại \(K\)

Các điểm:

• \(N \in K B\), \(I \in K D\)

⇒ \(N\) và \(I\) là hai điểm tương ứng trên hai cạnh của tam giác cân

Do tính đối xứng của tam giác cân:
⇒ \(K N = K I\)

⇒ Tam giác \(K N I\) cân tại \(K\)

⇒ \(\angle K N I = \angle K I N\)

d) Gọi \(H\) là trung điểm của \(N I\), chứng minh \(M , H , K\) thẳng hàng

Trong tam giác \(K N I\):

• \(K N = K I\) ⇒ tam giác cân tại \(K\)
• \(H\) là trung điểm \(N I\)

⇒ \(K H\) là trung tuyến đồng thời là đường trung trực của \(N I\)

Mặt khác:

• \(M\) là trung điểm của \(A D\) và \(B C\) ⇒ là tâm đối xứng của hình bình hành \(A B C D\)

⇒ \(M\) nằm trên trục đối xứng của tam giác \(K N I\)

⇒ \(M , H , K\) thẳng hàng