.## Phân tích bài toán 1. Xác định hình dạng đáy: * Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Theo giả thiết, $SO \perp (ABCD)$. * Vì các cạnh bên bằng nhau ($SA = SB = SC = SD = a\sqrt{2}$), nên các hình chiếu của chúng trên mặt đáy cũng bằng nhau: $OA = OB = OC = OD$. * Hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo bằng nhau ($AC = BD$) nên $ABCD$ là hình chữ nhật. 2. Thiết lập công thức thể tích: * Đặt cạnh còn lại của hình chữ nhật là $BC = x$ ($x > 0$). * Diện tích đáy: $S_{ABCD} = a \cdot x$. * Độ dài đường chéo: $AC = \sqrt{a^2 + x^2} \Rightarrow AO = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{2}$. * Chiều cao khối chóp $h = SO$: $$h = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 - \left(\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{2}\right)^2} = \sqrt{2a^2 - \frac{a^2+x^2}{4}} = \frac{\sqrt{7a^2 - x^2}}{2}$$ * Điều kiện tồn tại: $7a^2 - x^2 > 0 \Rightarrow 0 < x < a\sqrt{7}$. 3. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích: * Thể tích khối chóp $V$: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot ax \cdot \frac{\sqrt{7a^2 - x^2}}{2} = \frac{a}{6} \sqrt{x^2(7a^2 - x^2)}$$ * Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cosi) cho hai số dương $x^2$ và $(7a^2 - x^2)$: $$x^2(7a^2 - x^2) \le \left( \frac{x^2 + 7a^2 - x^2}{2} \right)^2 = \left( \frac{7a^2}{2} \right)^2 = \frac{49a^4}{4}$$ * Suy ra: $\sqrt{x^2(7a^2 - x^2)} \le \frac{7a^2}{2}$. * Vậy thể tích lớn nhất là: $$V_{max} = \frac{a}{6} \cdot \frac{7a/2^2}{2} = \frac{7a^3}{12}$$

* Bán kính đường tròn $R = a$. * Các cạnh $AB = BC = CD = a$. * $ABCD$ là hình thang cân với đáy lớn $AD=2a$ và đáy nhỏ $BC=a$. Để thuận tiện, ta chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tọa độ tại $A(0; 0; 0)$: * Tia $Ax$ trùng với $AD$, suy ra $D(2a; 0; 0)$. * Mặt phẳng $(ABCD)$ nằm trong mặt phẳng $Oxy$. * Vì $ABCD$ là nửa lục giác đều, góc $\widehat{DAB} = 60^\circ$. * Tọa độ các điểm: * $A(0; 0; 0)$ * $D(2a; 0; 0)$ * $B(a \cdot \cos 60^\circ; a \cdot \sin 60^\circ; 0) \Rightarrow B\left(\frac{a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\right)$ * $C$ là điểm sao cho $\vec{BC} = \vec{AD}/2$ (do $BC \parallel AD$ và $BC = a = AD/2$): $C = B + (a; 0; 0) \Rightarrow \mathbf{C\left(\frac{3a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\right)}$ * Vì $SA \perp (ABCD)$ và $SA = \frac{3a}{2}$, ta có $S\left(0; 0; \frac{3a}{2}\right)$ ------------------------------ ## 2. Tính toán các Vector * Vector chỉ phương của $BD$: $$\vec{u}_{BD} = \vec{BD} = \left(2a - \frac{a}{2}; 0 - \frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\right) = \left(\frac{3a}{2}; -\frac{a\sqrt{3}}{2}; 0\right) \sim (3; -\sqrt{3}; 0)$$ * Vector chỉ phương của $SC$: $$\vec{u}_{SC} = \vec{SC} = \left(\frac{3a}{2} - 0; \frac{a\sqrt{3}}{2} - 0; 0 - \frac{3a}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}; \frac{a\sqrt{3}}{2}; -\frac{3a}{2}\right) \sim (3; \sqrt{3}; -3)$$ * Tích có hướng của hai vector chỉ phương: $$\vec{n} = [\vec{u}_{BD}, \vec{u}_{SC}] = \left( 3\sqrt{3}; 9; 6\sqrt{3} \right) \sim (\sqrt{3}; 3; 2\sqrt{3})$$ * Chọn vector nối hai điểm trên hai đường thẳng, ví dụ $\vec{SD}$: $$\vec{SD} = \left(2a - 0; 0 - 0; 0 - \frac{3a}{2}\right) = \left(2a; 0; -\frac{3a}{2}\right)$$ ------------------------------ ## 3. Tính khoảng cách Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ được tính theo công thức: $$d(BD, SC) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{SD}|}{|\vec{n}|}$$ * Tử số: $|(\sqrt{3} \cdot 2a) + (3 \cdot 0) + (2\sqrt{3} \cdot -\frac{3a}{2})| = |2a\sqrt{3} - 3a\sqrt{3}| = a\sqrt{3}$ * Mẫu số: $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 9 + 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ $$d(BD, SC) = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$$ Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ là $\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Công thức số tiền còn nợ sau $n$ tháng trả góp là: $$S_n = S(1+r)^n - m \frac{(1+r)^n - 1}{r}$$ Để trả hết nợ sau $n$ tháng thì $S_n = 0$, suy ra số tiền vay gốc 1. Số tiền An vay ($S_1$): An trả hết nợ trong $n_1 = 10$ tháng: $$S_1 = m \cdot \frac{1 - (1 + 0,007)^{-10}}{0,007}$$ 2. Số tiền Bình vay ($S_2$): Bình trả hết nợ trong $n_2 = 15$ tháng: $$S_2 = m \cdot \frac{1 - (1 + 0,007)^{-15}}{0,007}$$ 3. Thiết lập phương trình tổng số tiền vay: Vì tổng số tiền vay của hai anh em là 200 triệu đồng: $$S_1 + S_2 = 200$$ $$m \cdot \left[ \frac{1 - (1,007)^{-10}}{0,007} + \frac{1 - (1,007)^{-15}}{0,007} \right] = 200$$ 4. Tính toán: * $\frac{1 - (1,007)^{-10}}{0,007} \approx 9,6346$ * $\frac{1 - (1,007)^{-15}}{0,007} \approx 14,1991$ * $m \cdot (9,6346 + 14,1991) = 200$ * $m \cdot 23,8337 = 200$ * $m \approx \frac{200}{23,8337} \approx 8,3914$ (triệu đồng) 5. Làm tròn: Số tiền $8,3914$ triệu đồng tương ứng với $8.391.400$ đồng. Làm tròn đến hàng trăm nghìn, ta được: 8,4 triệu đồng. Đáp số: Mỗi người trả khoảng 8,4 triệu đồng/tháng.

## Phân tích bài toán Đây là bài toán về hình thức rút tiền đều đặn từ một khoản vay hoặc tiết kiệm có lãi suất kép (tương tự công thức trả góp). * Số tiền gốc ban đầu ($A$): 200 triệu đồng. * Lãi suất hàng tháng ($r$): $0,45\% = 0,0045$. * Thời gian gửi ($n$): 4 năm = $4 \times 12 = 48$ tháng. * Số tiền rút ra mỗi tháng ($x$): Cần tìm. ------------------------------ ## Công thức tính Để sau đúng 48 tháng số tiền trong sổ vừa hết, số tiền rút ra mỗi tháng được tính theo công thức: $$x = \frac{A \cdot r \cdot (1+r)^n}{(1+r)^n - 1}$$ ## Lời giải chi tiết 1. Đổi đơn vị thời gian: 4 năm bằng $4 \times 12 = 48$ tháng. 2. Áp dụng công thức: $$x = \frac{200 \cdot 0,0045 \cdot (1 + 0,0045)^{48}}{(1 + 0,0045)^{48} - 1}$$ 3. Tính toán: * $(1,0045)^{48} \approx 1,24051$ * $x = \frac{200 \cdot 0,0045 \cdot 1,24051}{1,24051 - 1}$ * $x = \frac{1,116459}{0,24051} \approx 4,6422$ (triệu đồng) Đáp số: Mỗi tháng bạn Bình cần rút ra khoảng 4.642.200 đồng (Bốn triệu sáu trăm bốn mươi hai nghìn hai trăm đồng).

1. Xác định góc giữa $(A'BD)$ và $(ABCD)$: * Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AO \perp BD$. * Mặt khác, $AA' \perp (ABCD)$ nên theo định lý ba đường vuông góc, ta có $A'O \perp BD$. * Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng $(A'BD)$ và $(ABCD)$ chính là góc $\widehat{A'OA} = 30^\circ$. 2. Tính các độ dài liên quan: * Trong hình vuông $ABCD$, đường chéo $BD = 2a \implies AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} BD = a$. * Xét tam giác vuông $A'AO$ (vuông tại $A$): $$AA' = AO \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$ 3. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'BD)$: * Kẻ $AH \perp A'O$ tại $H$. * Vì $BD \perp AO$ và $BD \perp AA'$ nên $BD \perp (A'AO) \implies BD \perp AH$. * Do $AH \perp A'O$ và $AH \perp BD$ nên $AH \perp (A'BD)$. Vậy khoảng cách từ $A$ đến $(A'BD)$ chính là độ dài đoạn $AH$. * Trong tam giác vuông $A'AO$, ta có công thức: $$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{AO^2}$$ $$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{3}{a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{a^2}$$ $$\implies AH^2 = \frac{a^2}{4} \implies AH = \frac{a}{2}$$ Đáp số: Khoảng cách bằng $\frac{a}{2}$.

## 1. Phân tích hình vẽ và xác định cạnh hình lập phương * Từ lưới của hình lập phương, ta thấy đoạn thẳng $AB$ chính là một cạnh của hình vuông cấu tạo nên hình lập phương đó. * Theo đề bài: Độ dài cạnh $a = AB = 4\sqrt{5}$. ## 2. Xác định vị trí sau khi gấp hình Khi gấp miếng bìa thành hình lập phương, ta có thể thiết lập hệ trục tọa độ $Oxyz$ để dễ dàng tính toán (với gốc tọa độ tại một đỉnh, các cạnh trùng với các trục): * Giả sử mặt có đoạn $AB$ là mặt phía trước, khi đó đường thẳng $AB$ nằm trên cạnh trên của mặt này. Phương trình đường thẳng $AB$ có thể coi là tập hợp các điểm $(x; a; a)$ với $0 \le x \le a$. * Điểm $O$ là tâm của mặt đối diện (mặt phía sau) so với mặt chứa đoạn $AB$. Tọa độ của điểm $O$ sẽ là $( \frac{a}{2}; 0; \frac{a}{2} )$. ## 3. Tính khoảng cách Khoảng cách $d$ từ điểm $O( \frac{a}{2}; 0; \frac{a}{2} )$ đến đường thẳng $AB$ (đường thẳng đi qua điểm $M( \frac{a}{2}; a; a )$ và song song với trục $Ox$) được tính bằng công thức: $$d = \sqrt{(y_{AB} - y_O)^2 + (z_{AB} - z_O)^2}$$ $$d = \sqrt{(a - 0)^2 + (a - \frac{a}{2})^2}$$ $$d = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$$ Thay giá trị $a = 4\sqrt{5}$ vào công thức: $$d = \frac{4\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}{2} = \frac{4 \cdot 5}{2} = 10$$ Đáp số: Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $AB$ sau khi xếp là 10.

## 1. Chứng minh $SC \perp (AMN)$ * Ta có $BC \perp AB$ (do $ABCD$ là hình vuông) và $BC \perp SA$ (do $SA \perp (ABCD)$). $\Rightarrow BC \perp (SAB)$. Mà $AM \subset (SAB)$ nên $AM \perp BC$. * Theo giả thiết, $AM \perp SB$. Từ đó suy ra $AM \perp (SBC) \Rightarrow$ $AM \perp SC$ (1). * Chứng minh tương tự, ta có $CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AN$. Kết hợp $AN \perp SD$ suy ra $AN \perp (SCD) \Rightarrow$ $AN \perp SC$ (2). * Từ (1) và (2), ta có $SC \perp (AMN)$. ## 2. Xác định góc giữa $SB$ và $(AMN)$ * Vì $SC \perp (AMN)$ nên đường thẳng $SC$ chính là pháp tuyến của mặt phẳng $(AMN)$. * Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(AMN)$. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua pháp tuyến là: $$\sin \alpha = |\cos(SB, SC)|$$ ## 3. Tính toán Xét tam giác $SBC$: * $SA = a\sqrt{2}, AB = a \Rightarrow SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. * $AC = a\sqrt{2} \Rightarrow SC = \sqrt{SA^2 + AC^2} = \sqrt{2a^2 + 2a^2} = 2a$. * Vì $BC \perp (SAB)$ (chứng minh ở trên) nên $BC \perp SB$, hay tam giác $SBC$ vuông tại $B$. Trong tam giác $SBC$ vuông tại $B$: $$\cos(\angle BSC) = \frac{SB}{SC} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Do đó: $$\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = 60^\circ$$ Kết luận: Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(AMN)$ bằng $60^\circ$.

## 1. Phân tích hình học Đặt các vectơ cạnh tại đỉnh $A$: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, $\vec{AA'} = \vec{c}$. Theo giả thiết: * Độ dài các cạnh: $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$. * Các góc tại đỉnh $A$: $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{c}) = (\vec{c}, \vec{a}) = 60^\circ$. ## 2. Tính thể tích khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ Thể tích $V$ của khối hộp được tính theo công thức: $$V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| = \sqrt{1 + 2\cos^3 60^\circ - 3\cos^2 60^\circ}$$ Thay $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ vào: $$V = \sqrt{1 + 2\left(\frac{1}{8}\right) - 3\left(\frac{1}{4}\right)} = \sqrt{1 + \frac{1}{4} - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ ## 3. Tính diện tích tam giác $AB'C$ Trước hết, ta tính độ dài các cạnh của tam giác $AB'C$: * Cạnh $AB'$: $AB'^2 = |\vec{a} + \vec{c}|^2 = a^2 + c^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{c} = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos 60^\circ = 3 \Rightarrow AB' = \sqrt{3}$. * Cạnh $AC$: $AC^2 = |\vec{a} + \vec{b}|^2 = a^2 + b^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos 60^\circ = 3 \Rightarrow AC = \sqrt{3}$. * Cạnh $B'C$: $\vec{B'C} = \vec{AC} - \vec{AB'} = \vec{b} - \vec{c}$. $B'C^2 = |\vec{b} - \vec{c}|^2 = b^2 + c^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} = 1 + 1 - 2(1)(1)\cos 60^\circ = 1 \Rightarrow B'C = 1$. Tam giác $AB'C$ cân tại $A$. Gọi $H$ là trung điểm $B'C$, đường cao $AH = \sqrt{AB'^2 - \left(\frac{B'C}{2}\right)^2} = \sqrt{3 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{11}}{2}$. Diện tích: $$S_{AB'C} = \frac{1}{2} \cdot B'C \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{11}}{2} = \frac{\sqrt{11}}{4}$$ ## 4. Tính khoảng cách từ $C'$ đến mặt phẳng $(AB'C)$ Xét khối tứ diện $AB'CC'$. Thể tích khối tứ diện này bằng $\frac{1}{6}$ thể tích khối hộp (do các đỉnh thuộc khối hộp): $$V_{AB'CC'} = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{12}$$ Khoảng cách $d$ từ $C'$ đến $(AB'C)$ là chiều cao của tứ diện hạ từ $C'$: $$d = \frac{3 \cdot V_{AB'CC'}}{S_{AB'C}} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{12}}{\frac{\sqrt{11}}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{11}}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{22}}{11}$$ Đáp số: Khoảng cách cần tìm là $d = \frac{\sqrt{22}}{11}$.

* Công thức: Gọi $S_0$ là lượng bèo ban đầu. Sau $t$ giờ, lượng bèo là: $S(t) = S_0 \cdot 10^t$ * Dữ kiện: Sau 12 giờ bèo phủ kín mặt nước ($S_{full}$), ta có: $S_{full} = S_0 \cdot 10^{12}$ ## Giải chi tiết Để tìm thời gian $t$ khi bèo phủ kín $\frac{1}{5}$ mặt nước, ta lập phương trình: $$S(t) = \frac{1}{5} S_{full}$$ $$S_0 \cdot 10^t = \frac{1}{5} (S_0 \cdot 10^{12})$$ Triệt tiêu $S_0$ ở hai vế, ta được: $$10^t = \frac{10^{12}}{5}$$ Lấy logarit cơ số 10 hai vế: $$t = \log( \frac{10^{12}}{5} )$$ $$t = \log(10^{12}) - \log(5)$$ $$t = 12 - \log(5)$$ Tính toán giá trị xấp xỉ: * $\log(5) \approx 0,69897$ * $t \approx 12 - 0,69897 = 11,30103$ Làm tròn đến hàng phần mười, ta được: 11,3 (giờ). Đáp số: 11,3 giờ.