Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của bốn cạnh AB,BC,CD và DA của hình thoi ABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

ta có AC vuông BD

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông , ta được :

OM =1/2 AB; ON =1/2 BC

OP= 1/2 CD; OQ =1/2 AD

Mặt khác AB =BC=CD=DA=OM=ON=OP=OQ

Do đó bốn điểm M,N,P,Q cùng nằm trên một đường tròn

Gọi O là chung điểm của BC

Ta có BD là đường cao nên BD vuông AC hay tam giác BCD vuông tại D

Trong tam giác tam giác vuông BCD có DO là trung tuyến ứng với cạch huyền BC nên:

OD=OB=OC=1/2 BC (1)

Tương tự ta có: OE=OB=OC=1/2 BC (2)

và OF=OB=OC=1/2 BC (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra OB=OC=OD=OE=OF

Do đó năm điểm B,C,D,E,F cùng thuộc 1 đường tròn

Gọi O là hai đường chéo AC và BD

Theo tính chất hai đường chéo hình chữ nhật ta có OA = OB = OC = OD ( =1 phần 2 AC =1 phần 2 BD)

Suy ra bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc (O;1 phần 2 AC )

Áp dụng định lí pythago vào tam giác vuông ABC ta có :

AC mũ hai = AB mũ hai + BC mũ 2 = a mũ 2 + b mũ 2

Do đó R = 1 phần 2 AC =1 phần 2 căn của a mũ 2+ b mũ 2

Tam giác ABC có hai đường cao BB' và CC' nên BC'C=BB'C= 90°

Suy ra OB = OC = OB'= OC' ( đường cao ứng với cạnh huyền )

Do đó bốn điểm B,C',B',C cùng nằm trên 1 đường tròn

Tứ giác ABCD có góc B = góc D =90° nên

OA = OB = OC = OD(đường cao ứng với cạnh huyền ).

Suy ra bốn điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn tâm O đường kính AC