Quan sát hình trên và chứng minh \(x = \frac{a h}{a^{'} \&\text{nbsp}; - a}\).

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác \(A B C\) có \(B C \bot \&\text{nbsp}; A B^{'}\) và \(B^{'} C^{'} \bot A B^{'}\) nên suy ra \(B C\) // \(B^{'} C^{'}\).

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{A B}{A B^{'}} \&\text{nbsp}; = \frac{B C}{B C^{'}}\)

Suy ra \(\frac{x}{x + h} \&\text{nbsp}; = \frac{a}{a^{'}}\)

\(a^{'} . x = a \left(\right. x + h \left.\right)\)

\(a^{'} . x - a x = a h\)

\(x \left(\right. a^{'} - a \left.\right) = a h\)

\(x = \frac{a h}{a^{'} \&\text{nbsp}; - a}\).

Trong tam giác \(A D B\), ta có: \(M N\) // \(A B\) (gt)

Suy ra \(\frac{D N}{D B} \&\text{nbsp}; = \frac{M N}{A B}\) (hệ quả định lí Thalès) (1)

Trong tam giác \(A C B\), ta có: \(P Q\) // \(A B\) (gt)

Suy ra \(\frac{C Q}{C B} \&\text{nbsp}; = \frac{P Q}{A B}\) (hệ quả định lí Thalès) (2)

Lại có: \(N Q\) // \(A B\) (gt); \(A B\) // \(C D\) (gt)

Suy ra \(N Q\) // \(C D\)

Trong tam giác \(B D C\), ta có: \(N Q\) // \(C D\) (chứng minh trên)

Suy ra \(\frac{D N}{D B} \&\text{nbsp}; = \frac{C Q}{C B}\) (định lí Thalès) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{M N}{A B} \&\text{nbsp}; = \frac{P Q}{A B} \&\text{nbsp}; h a y\)MN = PQ$ (đpcm).

Chứng minh bằng toạ độ (đơn giản và rõ ràng):

Đặt (A=(0,0)), (B=(1,0)) và (C=(0,c)) với (c\neq0) (lựa chọn toạ độ không làm mất tính tổng quát vì ta chỉ cần giữ (AB) song song với trục hoành).

Tâm (trọng tâm) của tam giác là
[
G=\Big(\frac{0+1+0}{3},\frac{0+0+c}{3}\Big)=\Big(\frac{1}{3},\frac{c}{3}\Big).
]

Đường thẳng (d) đi qua (G) và song song với (AB) nên là đường ngang có hoành độ (y=\dfrac{c}{3}).

Đường thẳng (BC) có tham số (t\in[0,1]):
[
( x,y )=(1-t,;tc),
]
với (t=0) tương ứng điểm (B) và (t=1) tương ứng (C).

Giao điểm (M) của (d) và (BC) thỏa (y=tc=\dfrac{c}{3}\Rightarrow t=\dfrac{1}{3}). Do đó
[
M=\Big(1-\tfrac{1}{3},; \tfrac{c}{3}\Big)=\Big(\tfrac{2}{3},\tfrac{c}{3}\Big).
]

Khoảng cách từ (B) đến (M) là tỉ lệ (t=\dfrac{1}{3}) trên đoạn (BC), nên
[
BM=\frac{1}{3}BC.
]

Vậy (BM=\dfrac{1}{3}BC). □

ABCD là hình thang suy ra \(A B\) // \(C D\).

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: \(\frac{O A}{O C} \&\text{nbsp}; = \frac{O B}{O D}\)

Suy ra \(O A . O D = O B . O C\) (đpcm).

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác:

⚡\(D E\) // \(A C\) nên \(\frac{A E}{A B} = \frac{C D}{B C}\);

⚡\(D F\) // \(A C\) nên \(\frac{A F}{A C} = \frac{B D}{B C}\).

Khi đó, \(\frac{A E}{A B} + \frac{A F}{A C} = \frac{C D}{B C} + \frac{B D}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1\)

I help my family by doing various tasks. I often assist my parents with household chores like cleaning and cooking. I also support my sibling with their studies, helping them with homework or explaining difficult concepts. Sometimes, I go to the market with my mom to buy groceries. Taking care of plants at home is another way I contribute. These small tasks help my family a lot and bring us closer together.

I help my family by doing various tasks. I often assist my parents with household chores like cleaning and cooking. I also support my sibling with their studies, helping them with homework or explaining difficult concepts. Sometimes, I go to the market with my mom to buy groceries. Taking care of plants at home is another way I contribute. These small tasks help my family a lot and bring us closer together.