Do BD là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ D là trung điểm của AC

Do CE là đường trung tuyến của ∆ABC (gt)

⇒ E là trung điểm của AB

⇒ DE là đường trung bình của ∆ABC

⇒ DE // BC và DE = BC : 2

⇒ BC = 2DE

Do DE // BC (cmt)

⇒ BCDE là hình thang

Do M là trung điểm của BE (gt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ MN là đường trung bình của hình thang BCDE

⇒ MN // DE // BC và MN = (DE + BC) : 2

Do MN // DE (cmt)

⇒ MI // DE và NK // DE

∆BDE có:

MI // DE (cmt)

M là trung điểm của BE (gt)

⇒ I là trung điểm của BD

⇒ MI là đường trung bình của ∆BDE

⇒ MI = DE : 2   (1)

∆CDE có:

NK // DE (cmt)

N là trung điểm của CD (gt)

⇒ K là trung điểm của CE

⇒ NK là đường trung bình của ∆CDE

⇒ NK = DE : 2   (2)

Mà MI = DE : 2

⇒ MI = NK = DE : 2

⇒ MI + NK = DE

Ta có:

MN = (DE + BC) : 2

Mà BC = 2DE (cmt)

⇒ MN = (DE + 2DE) : 2

= DE + DE : 2

Lại có:

MN = MI + IK + NK

= (MI + NK) + IK

= DE + IK

⇒ DE + IK = DE + DE : 2

⇒ IK = DE : 2 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ MI = IK = KN

a) Xét ΔABC có:

M là trung điểm của AC (BM là đường trung tuyến của ΔABC)

N là trung điểm của AB (CN là đường trung tuyến của )ΔABC)⇒MN là đường trung bình của ΔABC ( DHNB đường trung bình) 

ΔABC có:

D là trung điểm của GB (gt)

E là trung điểm của GC (gt)

DE là đường trung bình của ΔGBC ( DHNB đường trung bình)

⇒DE // BC  ( t/ch đtb) (2) 

Từ (1) và (2) ⇒MN // DE ( cùng // BC) 

b) 

b) Do MN là đường trung bình của ΔABC(cmt)

MN= 1/2 BC(3)

Do DE là đường trung bình của ΔGBC(cmt)

DE=1/2 BC 
​
  (4)

Từ (3) và (4) ⇒MN=DE ( = 1/2 BC)

Xét tứ giác MNDE có:

MN // DE (cmt)MN=DE( 
(cmt)
⇒MNDE là hình bình hành ( DHNB hbh) 
⇒ND//ME ( t/ch hbh)

a) Gọi E là trung điểm của MC
Từ gt có AM= 1/2 MC ⇒ AM= ME= EC (=1/2 MC)
Xét△ BCM có: ME=EC (E là trung điểm của MC)
                      DB=DC (gt)

⇒DE là đường trung bình của △ BCM (DHNB đg trung bình)

=> DE//BM 

Xét △ ADE có:

BM//DE (cmt)

=>OM//DE ( O ∈ BM )
⇒OA= OD( Đường thảng đi qua trung điểm một cạnh của △ và song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3)
⇒ O là trung điểm của AD
b) Xét △ BCM có: DE là đường trung bình của △ BCM ( cmt) 

⇒ DE= 1/2 BM ( t/ch đường trung bình)  (1)

Xét △ ADE có :  O là trung điểm của AD (cmt )
                        M là trung điểm của AM ( AM= ME) 
⇒OM là đường trung bình của △ADE ( DHNB đường trg bình) 
⇒OM= 1/2 DE ( t/ch đường trung bình) (2)
Từ (1) và (2)⇒ OM= 1/2 .1/2= 1/4 BM 

Gọi K là trung điểm của CD

a: Xét ΔBDC có 

M là trung điểm của BC

K là trung điểm của CD

Do đó: MK là đường trung bình

=>MK//BD

hay ID//MK

Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

ID//MK

Do đó: D là trung điểm của AK

=>AD=DK=KC

=>AD=1/2DC

b: Xét ΔAMK có 

I là trung điểm của AM

D là trung điểm của AK

Do đó: ID là đường trung bình

=>ID=MK/2

hay MK=2ID

Ta có: MK là đường trung bình của ΔBDC

nên MK=BD/2

=>BD/2=2ID

hay BD=4ID

Ta có: BM/AM = BC/AC = a/b (định lí đường phân giác) (1)

CN/AN = BC/AB = a/b (định lí đường phân giác) (2)

Từ (1) và (2) => BM/AM = CN/AN

Vì BM/AM = CN/AN => BM/CN = AM/AN và AM/AB = MN/BC

Vì BM/CN = AM/AN (cmt) => MN // BC (định lí Thales)

Vì AM/AB = MN/BC (cmt) => AM/b = MN/a (3)

Ta có: AM/BM = AC/BC = b/a (định lí đường phân giác)

=> AM/b = BM/a = (AM+BM)/(a+b) = AB/(a+b) = b/(a+b)

=> AM = b²/(a+b)

Thay AM = b²/(a+b) vào (3) ta được:

=> (b²/(a+b))/b = MN/a

=> b/(a+b) = MN/a

=> MN = ab/(a+b)

Vậy MN = ab/(a+b)

a.Ta có CDCD là phân giác góc C →DA\DB=CA\CB=2→DA\DA+DB=2\2+1 →DA\AB=2\3 →DA=2\3AB=2\3AC=16(AB=AC) →BD=AB−AD=8 b.Vì CE⊥CD,CD là phân giác trong của ΔABC →CElà phân giác ngoài ΔABC →EB\EA=CB\CA=1\2

a) x - 3 = (3 - x)²

x - 3 = (x - 3)²

x - 3 - (x - 3)² = 0

(x - 3)[1 - (x - 3)] = 0

(x - 3)(1 - x + 3) = 0

(x - 3)(4 - x) = 0

x - 3 = 0 hoặc 4 - x = 0

*) x - 3 = 0

x = 3

*) 4 - x = 0

x = 4

Vậy x = 3; x = 4

b) x³ + 3/2 x² + 3/4 x + 1/8 = 1/64

(x + 1/2)³ = 1/64

(x + 1/2)³ = (1/4)³

x + 1/2 = 1/4

x = 1/4 - 1/2

x = -1/2

Do AB//CD( vì cùng vuông góc với BD)

Nên áp dụng định lí Ta lét , ta được :

EB/ED=AB/CD

=> EB/6 = 150/4

=> EB = 150.6/4 = 225 (cm)

a) x² + 2xy + y² - x - y

= (x² + 2xy + y²) - (x + y)

= (x + y)² - (x + y)

= (x + y)(x + y + 1)

b) 2x³ + 6x² + 12x + 8

= 2(x³ + 3x² + 6x + 4)

= 2(x³ + x² + 2x² + 2x + 4x + 4)

= 2[(x³ + x²) + (2x² + 2x) + (4x + 4)]

= 2[x²(x + 1) + 2x(x + 1) + 4(x + 1)]

= 2(x + 1)(x² + 2x + 4)

A=(x2−2xy+y2)+y2+2x−6y+2028

\(= \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. x - y \left.\right) + \left(\right. y^{2} - 4 y \left.\right) + 2028\)

\(= \left(\right. x - y \left.\right)^{2} + 2 \left(\right. x - y \left.\right) + 1 + \left(\right. y^{2} - 4 y + 4 \left.\right) + 2023\)

\(= \left(\right. x - y + 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} + 2023 \geq 0 + 0 + 2023 = 2023\)
Vậy Amin⁡=2023Amin​=2023.

Giá trị này đạt tại \(x - y + 1 = y - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow y = 2 ; x = 1\)