a) Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(A D\) // \(B C\) và \(A D = B C\).

Do \(A D\) // \(B C\) nên \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\) (so le trong)

Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:

     \(\hat{A H D} \&\text{nbsp}; = \hat{C K B} = 9 0^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H} \&\text{nbsp}; = \hat{C B K}\) (do \(\hat{A D B} \&\text{nbsp}; = \hat{C B D}\)).

Do đó \(\Delta \&\text{nbsp}; A D H = \Delta \&\text{nbsp}; C B K\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(A H \bot \&\text{nbsp}; D B\) và \(C K \bot \&\text{nbsp}; D B\) nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\) nên \(A H C K\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do \(A H C K\) là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) (giả thiết) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\).

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Vì BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên

AM=MC,AN=NB𝐴𝑀=𝑀𝐶,𝐴𝑁=𝑁𝐵

Tam giác ABC có:

AM=MC,AN=NB𝐴𝑀=𝑀𝐶,𝐴𝑁=𝑁𝐵

nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó, MN//BC,MN=12BC𝑀𝑁//𝐵𝐶,𝑀𝑁=12𝐵𝐶

Tam giác GBC có: D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC nên DE là đường trung bình của tam giác GBC.

Do đó, DE//BC, DE=12B𝐷𝐸=12𝐵𝐶

Ta có: MN//BC, DE//BC nên MN//DE

b) Tứ giác MNDE có: MN//DE, MN=DE(=BC2)𝑀𝑁=𝐷𝐸(=𝐵𝐶2)

Do đó, tứ giác MNDE là hình bình hành. Do đó, ND//ME

a) Vì BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên

AM=MC,AN=NB𝐴𝑀=𝑀𝐶,𝐴𝑁=𝑁𝐵

Tam giác ABC có:

AM=MC,AN=NB𝐴𝑀=𝑀𝐶,𝐴𝑁=𝑁𝐵

nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó, MN//BC,MN=12BC𝑀𝑁//𝐵𝐶,𝑀𝑁=12𝐵𝐶

Tam giác GBC có: D, E lần lượt là trung điểm của GB, GC nên DE là đường trung bình của tam giác GBC.

Do đó, DE//BC, DE=12B𝐷𝐸=12𝐵𝐶

Ta có: MN//BC, DE//BC nên MN//DE

b) Tứ giác MNDE có: MN//DE, MN=DE(=BC2)𝑀𝑁=𝐷𝐸(=𝐵𝐶2)

Do đó, tứ giác MNDE là hình bình hành. Do đó, ND//ME

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

• Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM=góc OCN (hai góc so le trong).

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

góc OAM=góc OCN (chứng minh trên)

OA = OC (chứng minh trên)

góc AOM=góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó tam giác OAM = tam giácOCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

 AB = CD (chứng minh trên); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

• BM // DN (vì AB // CD)

• BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a)  Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, từ đó AE // CF, AE = EB = DF = FC. suy ra:tứ giác AEFD là hình bình hành

suy ra: tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF.

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.