Trong hình bình hành ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường:

⇒ O là trung điểm của cả AC và BD

⇒ OA =OC

Vì AB ∥ CD nên

góc OAM = góc OCN ( 2 góc so le trong )

Xét Δ OAM và ΔOCN có:

OA = OC (cmt)

góc OAM = góc OCN (cmt)

góc AOM = góc CON ( 2 góc đối đỉnh)

⇒ Δ OAM = ΔOCN ( g.c.g)

⇒ OM = ON ( 2 cạnh t.ứng )

hay O là trung điểm của MN

mà O cũng là trung điểm của DB ( cmt )

⇒ Hai đường chéo BD và MN của tứ giác MBND cắt nhau tại O và O là trung điểm của 2 đường chéo BD, MN

⇒ Tứ giác MBND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên:

AB ∥ CD và AB = CD.

AD ∥ BC và AD = BC

- Ta có:

E là trung điểm của AB ⇒ AE = EB

F là trung điểm của CD ⇒ CF = FD

Mà AB = CD (cmt)

⇒AE = EB = CF = FD

- Ta có:

+) AE nằm trên AB

+) DF, CF nằm trên CD

mà AB ∥ CD

⇒ AE ∥ DF và AE ∥ CF

- Xét tứ giác AEFD có:

AE ∥ DF (cmt)

AE = FD (cmt)

⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành.

- Xét tứ giác AECF có:

AE ∥ CF (cmt)

AE = CF (cmt)

⇒ Tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Vì AECF và AEFD là hình bình hành ( cm ở ý a)

nên AE = EF ( 2 cạnh t.ứng)

và AF = EC ( 2 cạnh t.ứng)