Chứng minh BAE = EAC = AEF = EFI = IFC

Vì AE là tia phân giác của A nên BAE = EAC (1)

Vì EF // AB nên BAE = AEF (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BAE = EAC = AEF

Vì FI // AE nên AEF = EFI (hai góc so le trong) (3)

Từ (1) và (3) suy ra BAE = EAC = AEF = EFI

Vì FI // AE nên EFI = IFC (hai góc đồng vị) (4)

Từ (3) và (4) suy ra BAE = EAC = AEF = EFI = IFC (điều phải chứng minh)

Chứng minh FI là tia phân giác của EFC

Vì EF // AB nên EFA = BAC (đồng vị).

Vì AE là phân giác của BAC nên BAC = 2EAC

Do đó, EFA = 2EAC

Mà EAC = EFI (cmt)

Suy ra EFA = 2EFI

Ta có EFA = EFI + IFC, mà EFA = 2EFI => EFI = IFC

Vậy FI là tia phân giác của EFC (điều phải chứng minh).

a) Chứng minh AC vuông góc AD và BD vuông góc BC:

Vì xy // mn nên xAB + ABm = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau).

AC là tia phân giác của xAB nên CAB = 1/2 xAB

AD là tia phân giác của BAy nên DAB = 1/2 BAy

Ta có: CAB + DAB = 1/2 xAB + 1/2BAy = 1/2 (xAB + BAy) = 1/2 • 180° = 90°

Suy ra, CAD = 90°, do đó AC vuông góc AD.

Tương tự: BC là tia phân giác của ABm

nên ABC = 1/2 ABm

BD là tia phân giác của ABn

nên ABD = \1/2 ABn

Ta có: ABC + ABD = 1/2} ABm + 1/2 ABn = 1/2} (ABm + ABn) = 1/2 • 180 = 90°

Suy ra, CBD = 90°, do đó BD vuông góc BC.

b) Chứng minh AD // BC và AC // BD:

Ta có: AC vuông góc AD (chứng minh trên).

BD vuông góc BC (chứng minh trên)

. Suy ra CAD = 90° và CBD = 90°

Xét tứ giác ACBD, có CAD = CBD = 90°

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

nên AD // BC và AC // BD.

c) Chứng minh góc ACB và góc BDA là các góc vuông:

Xét tam giác ABC, có CAB + ABC + ACB = 180°

Mà CAB = 1/2} xAB và ABC = 1/2 ABm

Suy ra CAB + ABC = 1/2 (xAB + ABm) = 1/2} • 180° = 90°

Do đó, ACB = 180° - (CAB + ABC) = 180° - 90° =90°

Vậy góc ACB là góc vuông.

Tương tự:

Xét tam giác ABD, có DAB + ABD + BDA = 180°

Mà DAB = 1/2 BAy và ABD = 1/2 ABn

Suy ra DAB + ABD = 1/2 (BAy + ABn) = 1/2} • 180° = 90°

Do đó, BDA = 180° - (DAB + ABD) = 180° - 90° =90°

Vậy góc BDA là góc vuông

a) Chứng minh AC vuông góc AD và BD vuông góc BC:

Vì xy // mn nên xAB + ABm = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau).

AC là tia phân giác của góc xAB nên góc CAB = 1/2 góc xAB

Vì tia AD là tia phân giác của góc BAy nên góc DAB = 1/2 góc BAy

Ta có: CAB + DAB = 1/2 xAB + 1/2 BAy = 1/2 (xAB + BAy) = 1/2 • 180° = 90°

Suy ra, CAD = 90°, do đó AC vuông góc AD.

Tương tự:

BC là tia phân giác của ABm nên ABC = 1/2 ABm

BD là tia phân giác của ABn nên ABD = \1/2 ABn

Ta có: ABC + ABD = 1/2} ABm + 1/2 ABn = 1/2} (ABm + ABn) = 1/2 • 180 = 90°

Suy ra, CBD = 90°, do đó BD vuông góc BC.

b) Chứng minh AD // BC và AC // BD:

Ta có:

AC vuông góc AD (chứng minh trên)

BD vuông góc BC (chứng minh trên)

Suy ra CAD = 90° và CBD = 90°

Xét tứ giác ACBD, có CAD = CBD = 90°

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC và AC // BD.

c) Chứng minh góc ACB và góc BDA là các góc vuông:

Xét tam giác ABC, có CAB + ABC + ACB = 180°

Mà CAB = 1/2} xAB và ABC = 1/2 ABm

Suy ra CAB + ABC = 1/2 (xAB + ABm) = 1/2} • 180° = 90°

Do đó, ACB = 180° - (CAB + ABC) = 180° - 90° =90°

Vậy góc ACB là góc vuông.

Tương tự: Xét tam giác ABD, có DAB + ABD + BDA = 180°

Mà DAB = 1/2 BAy và ABD = 1/2 ABn

Suy ra DAB + ABD = 1/2 (BAy + ABn) = 1/2} • 180° = 90°

Do đó, BDA = 180° - (DAB + ABD) = 180° - 90° =90°

Vậy góc BDA là góc vuông

a)

Chứng minh AA' // BB':​

Vì AA' là tia phân giác của góc xAB, nên góc xAA' = 1/2 góc xAB.

Vì BB' là tia phân giác của góc ABy' nên góc ABB' = 1/2 góc ABy'.

Ta có: xy // x'y'

nên góc xAB = góc ABy' (hai góc so le trong)

Suy ra AA' // BB' ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song )

b) Chứng minh góc AA'B = góc AB'B:

Vì AA' // BB' (chứng minh trên), nên góc AA'B = góc B'BA (hai góc so le trong)

Ta có góc AB'B + góc B'BA = 180° (hai góc kề bù).

Tương tự, góc AA'B + góc BAA' = 180° (hai góc kề bù)

Mà góc AA'B = góc B'BA (chứng minh trên), nên góc AB'B = góc BAA'

. Mà góc BAA' = góc ABB' (vì góc xAA' = góc ABB', chứng minh ở câu a).

Vậy góc AA'B = góc AB'B.