a) Ta có Ax⊥AC vàBy∥AC Nên Ax⊥By Mà M là giao điểm của Ax và By nên AMB=90∘ Lại có By∥AC nên MB∥AQ, và Ax⊥AC Nên AM⊥AQ Do đó AM∥BQ. Tứ giác AMBQ có AM∥BQ, MB∥AQ và có một góc vuông tại 𝑀 nên AMBQ là hình chữ nhật. b) Vì P là trung điểm của AB.

Trong hình chữ nhật AMBQ có AM∥BQ và AQ∥MB nên MP là đường trung bình của tam giác ABQ Do đó MP∥AQ và MP=1/2AQ Đường MP cắt AC tại Q Mà AI là đường cao của tam giác ABC Suy ra PI=IQ. Vậy tam giác PIQ cân tại I và tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.

Vì ABCD là hình thang vuông nên AD⊥AB và AD∥BC. Lại có M là trung điểm của 𝐴 𝐶

nên AM=MC= 1/2 AC. Theo giả thiết BM=1/2 AC suy ra AM=BM=MC. Do đó tam giác ABM ABM và tam giác CBM CBM đều cân tại M Vì AD∥BC và góc A=90 độ Góc A=90 độ nên AB⊥AD và AD⊥BC Tứ giác ABCD có một góc vuông và hai cạnh đối song song. Suy ra ABCD là hình chữ nhật

Vì 𝐼 I là trung điểm của 𝐴 𝐶 AC nên AI=IC. (1)

Vì 𝐷 D thuộc tia HI và IH=ID

nên 𝐼 I là trung điểm của HD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 𝐼 I là trung điểm của cả hai đoạn AC và HD.

⇒ Hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

⇒ Tứ giác AHCD là hình bình hành. (dấu hiệu nhận biết hình bình hành hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC

nên AH⊥BC

Trong hình bình hành AHCD, ta có 𝐵 BC∥CD

⇒ AH⊥CD.

Hình bình hành AHCD có một góc vuông

⇒ AHCD là hình chữ nhật