a) xét tam giác APQ và tam giác BPM có:

PA=PB

Góc APQ= góc BPM(hai góc đối đỉnh)

Góc QAP= góc MBP(vì AQ//BM)

=> Tam giác APQ = tam giác BPM(g.c.g)

=> PQ= PM

=> AQBM là hình thang (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà góc QAM=90° (AQ vuông góc với AM)

Nên AQBM là hình chữ nhật

Vậy AQBM là hình chữ nhật

b) Ta có:

PQ=AB/2 ( vì PQ là đường trung tuyến tương ứng cạnh huyền trong tam giác vuông ABQ) (1)

PI = AB/2 (vì PQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AIB) (2)

Từ (1) và (2) => PQ=PI thuộc tam giác PIQ cân tại P

Vậy tam giác PIQ cân tại P

Ta có: tam giác ABC có đường trung tuyến BM và BM = 1/2 AC

=> Tam giác ABC vuông góc tại B

=> B=90°

Xét tam giác ABCD có góc A= góc D = góc B=90°

=> Tứ giác ABCB là hình chữ nhật( theo dấu hiệu nhận biết)

Vậy tứ giác ABCB là hình chữ nhật

Ta có: D là điểm đối xứng với H qua I

=> I là trung điểm của DH(tính chất)

Do AH là đường cao của tam giác ABC(giả thiết)

=> AH vuông góc với BC

=> Góc AHC = 90°

Xét tứ giác AHCD có:

I là trung điểm của DH(chứng minh trên)

I là trung điểm của AC(giả thiết)

=> AHCD là hình bình hành

Mà góc AHC = 90°

=> AHCD là hình chữ nhật

Vậy tứ giác AHCD là hình chữ nhật