a) Xét tam giác APQ và tam giác BPM có

PA=PM

Góc APG =góc BPM (hai góc đối đỉnh)

Góc QAP= góc MBP( AQ song song BM)

Suy ra tam giác APQ = tam giác BPM ( g.c.g)

Suy ra PQ= PM

Suy ra AQBM là hình bình hành(hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mà góc QAM =90⁰( AQ vuông góc AM) nên AQBM là hình chữ nhật

b) Ta có

PQ = AB:2 ( vì PQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền​ trong tam giác vuông ABQ) (1)

PI = AB:2 (vì pe là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông AIB) (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra

PQ= PI thuộc tam giác PIQ cân tại P

Vì M là trung điểm của AC nên

AM = MC = 1/2 AC

Do BM = 1/2 AC nên

BM = AM = MC

Suy ra, tam giác ABC có​ tuyến BM bằng​ nửa cạnh AC

Nếu một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông tại đỉnh đối diện với cạnh đó.

Vậy tam giác ABC vuông tại B , tức là góc ABC = 90⁰

Hình thang ABCD có :

Góc A = góc D bằng 90⁰(GT)

Góc ABC =90⁰( c/m trên)

Hình thang ABCD có ba góc vuông (góc A=góc D=góc B=90⁰)

Vậy hình thang vuông ABCD có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật

Vì I là trung điểm của AC và D thuộc HI sao cho IH = ID, bên I là trung điểm của HD

Xét tứ giác AHCD có hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

Do đó, AHCD là hình bình hành.

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên

AH vuông góc BC

Do đó góc AHC = 90⁰

Hình bình hành AHCD có một góc vuông ( AHC= 90⁰) , nên AHCD là hình chữ nhật.