Ta có:

ABCD là hình thang vuông tại A và D, hay góc A bằng góc D bằng 90 độ.

M là trung điểm của AC.

BM bằng 1/2 AC.

Vì M là trung điểm của AC và BM bằng 1/2 AC, nên tam giác ABC có đuòng trung tuyến BM úng vs cạnh AC bằng một nủa cạnh AC.

Theo định lí, nếu một đuòng trung tuyến của một tam giác bằng một nủa cạnh đối diện, thì tam giác đó là tam giác vuông tại đỉnh của đuòng trung tuyến.

Do đó, tam giác ABC vuông tại B hay góc B bằng 90độ.

Xét tú giác ABCD có:

góc A bằng 90độ (theo giả thiết)

góc D bằng 90độ (theo giả thiết)

góc B bằng 90độ (cmt)

Vậy tú giác ABCD là hình chũ nhật.

Ta có: I là trung điểm của AC

Điểm D thuộc tia HI sao cho IH=ID

Xét tú giác AHCD có:

I là trung điểm của AC (giả thiết)

I là trung điểm của HC vì (IH=ID và H,I,D thẳng hàng)

vì hai đuòng chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm I nên tú giác AHCD là hình bình hành.

Theo đề bài, AH là đuòng cao của tam giác ABC, suy ra AH vuông góc BC,

Do D thuộc tia HI nên H,I,D thẳng hàng . Do đó , HD nằm trên đuòng thẳng chúa HI .

Trong hình bình hành AHCD có AH vuông góc BC.

Vì AH là đuòng cao của tam giác ABC nên góc AHC bằng 90độ.

Suy ra tú giác AHCD là hình chũ nhật.