a) Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có:

AD // BC và AD = BC
Do AD // BC nên ∠ADB = ∠CBD (hai góc so le trong)
Xét hai tam giác △ADH và △CBK, ta có:

∠AHD = ∠CKB = 90°
AD = BC (đã chứng minh ở trên)
∠DHA = ∠KBC (cùng là góc nhọn ứng với cạnh huyền)
⇒ △ADH = △CBK (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ ∠AH = ∠CK (hai cạnh tương ứng)

Ta có:

AH ⊥ BD và CK ⊥ BD ⇒ AH // CK
Tứ giác AHCK có:

AH // CK và AH = CK ⇒ AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
Do △ADH = △CBK nên hai hình bằng nhau ⇒ điểm H và điểm K đối xứng nhau qua trung điểm của đoạn AC

Mà I là trung điểm của đoạn HK (giả thiết) ⇒ I là trung điểm của đoạn AC

Vì ABCD là hình bình hành, nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC (giả thiết), ⇒ II cũng là trung điểm của BD ⇒ IB=ID

a)

Vì tứ giác \(A B C D\) là hình bình hành (giả thiết), suy ra:

\(A D = B C , A D \parallel B C\)

Mà \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(A D\) và \(B C\) (giả thiết), nên:

\(A E = E D , B F = F C\)

Xét tứ giác \(E B F D\):

Ta có:

• \(E D = F B\) (do \(A E = F C\), mà \(A D = B C\))
• \(E D \parallel F B\) (vì \(A D \parallel B C\))

⇒ Suy ra: tứ giác \(E D F B\) là hình bình hành

b)

Vì \(A B C D\) là hình bình hành (giả thiết), nên:

• Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
  ⇒ \(O\) là trung điểm của \(A C\) và \(B D\)

Mà \(D E B F\) là hình bình hành (giả thiết)

⇒ Suy ra: Hai đường chéo \(E F\) và \(D B\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,
→ Do đó, \(O\) cũng là trung điểm của \(E F\).

⇒ \(E , O , F\) thẳng hàng.

Xét tam giác \(\triangle A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\).
⇒ \(G\) là trọng tâm của tam giác.

Theo tính chất trọng tâm của tam giác:

\(& B G = \frac{2}{3} B M , G M = \frac{1}{3} B M & & (\text{1})\)

Mà \(P\) là trung điểm của đoạn \(B G\), nên:

\(& P G = \frac{1}{2} B G = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} B M = \frac{1}{3} B M & & (\text{2})\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(G M = P G\)

Tương tự, ta chứng minh được:

\(Q G = G N\)

Xét tứ giác \(P Q M N\):

Hai đường chéo \(P M\) và \(Q N\) cắt nhau tại trung điểm \(G\) của mỗi đường ⇒
Suy ra tứ giác \(P Q M N\) là hình bình hành.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF.

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.