Vì ABCD là hình bình hành nên AD//BC,AD=BC
AD//CD nên góc ADB= góc CBD(so le)
Xét \(\Delta A D H\) và \(\Delta C B K\) có:
 \(\hat{A H D}=\hat{C K B}=90^{\circ}\);

     \(A D = B C\) (chứng minh trên);

     \(\hat{A D H}=\hat{C B K}\) (do \(\hat{A D B}=\hat{C B D}\)).

Suy ra \(\Delta ADH=\Delta CBK\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(A H = C K\) (hai cạnh tương ứng).

Ta có \(AH\bot DB\) và \(CK\bot DB\) nên \(A H\) // \(C K\).

Tứ giác \(A H C K\) có \(A H\) // \(C K\) và \(A H = C K\) nên \(A H C K\) là hình bình hành

b) Vì \(A H C K\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(H K\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(H K\) nên \(I\) là trung điểm của \(A C\).

Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(A C\) nên \(I\) là trung điểm của \(B D\), hay \(I B = I D\)

a, ABCD là hình bình hành nên AD=BC,AD//BD
Vì E là trung điểm của AD nên AE=ED
Vì F là trung điểm của BC nên BF=FC
mà AD=BC nên AE=ED=BF=FC
Vì AD//CD nên DE//BF
Xét tứ giác EBFD
DE//BF
DE=BF
suy ra tứ giác EBFD là hình bình hành
b, Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD
Suy ra O là trung điểm của BD
Vì EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.
Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có
Hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G
Nên G là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra GM=GB chia 2, GN=GC chia 2 (1)
mà P là trung điểm của GB
nên GP=PB=GB chia 2 (2)
Vì Q là trung điểm của GC
Nên GQ=QC=GC chia 2 (3)

Từ (1)(2)(3) suy ra GM=GP,GN=GQ
Xét tứ giác PQMN có GM=GP
GN=GQ
Suy ra tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

a,ADBCD là hình bình hành nên AB=CD
AB//CD
Vì B,C lần lượt là trung điểm của AE,DF nên AE=DF
AB=BE=CD=CF
Vì AB//CD nên AE//DF
AB//CF
Xét tứ giác AEFD có
AE//DF
AE=DF
Suy ra tứ giác AEFD là hình bình hành
Xét tứ giác ABFC có
AB//CF
AB=CF
Suy ra tứ giác ABFC là hình bình hành
b, Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại giao điểm O
Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC
Mà O là trung điểm của AF
Suy ra O là trung điểm của BC
Vậy trung điểm của À,BE,DC trùng nhau

ABCD là hình bình hành nên AB//CD
AB=CD
Vì hai đường chéo AB và CD cắt nhau tại O nên OA=OC,OB=OD
Vì AB//CD nên AM//CN
Suy ra góc OAM = góc OCN
Xét tam giác OAM và tam giác OCN
Góc OAM = góc OCN (cmt)
OA=OC (cmt)
góc AOM = góc CON (đối đỉnh)
Suy ra tam giác OAM =tam giác OCN (G.C.G)
Vậy AM=CN(tương ứng)
Vì AB=CD nên AB=AM+BM
CD=CN+DN
Suy ra BM=DN
Xét tứ giác MBND
BM//DN(vì AB//CD)
BM=DN(cmt)
suy ra tứ giác MBND là hình bình hành

a,ABCD là hình bình hành nên AB=CD
AB//CD
Vì E thuộc AB,F thuộc CD nên AE//DF và AE//CF
Vì E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AE=EB=DF=FC
Xét tứ giác AEFD có
AE//DF
AE=DF
Suy ra AEFD là hình bình hành
Xét tứ giác AECF cs
AE//CF
AE=FC
Suy ra AECF là hình bình hành
b,Vì AEFD là hình bình hành nên EF=AD
Vì AECF là hình bình hành nên AF=EC