Trong tam giác ABC có M là trung điểm của AC. (Theo giả thiết,) BM=1/2AC Điều này có nghĩa là BM=AM=MC Khi một đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng một nửa cạnh đó, tam giác đó là tam giác vuông. Do đó,tam giác ABB là tam giác vuông tại B suy ra góc ABC=90°(1) Theo giả thiết, ABCD là hình thang vuông với góc A = 90° và D=90° Tứ giác ABCD có góc A =90° và góc D=90° theo gt Và góc ABC=90° (chứng minh ở ( 1) Mà một tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Vậy tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Xét tứ giác AHCD có

I là trung điểm của AC (theo giả thiết).

Theo giả thiết, D thuộc tia IH sao cho IH=ID điều này có nghĩa là I cũng là trung điểm của HD.

Vì I là trung điểm của cả hai đường chéo AC và HD của tứ giác AHCD,

Nên tứ giác AHCD là hình bình hành.(1)

Theo giả thiết, AH là đường cao của tam giác ABC

Do AH là đường cao, nên AH vuông góc với BC tại H

.Điều này có nghĩa là góc AHC=90°(2)

Tứ giác AHCD đã được chứng minh là hình bình hành ở (1).

Hình bình hành AHCD có một góc vuông tại H nên góc AHC = 90° đã được chứng minh ở (2). Một hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.(theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật )

Vậy tứ giác AHCD là hình chữ nhật