Ta có: \(\Delta = \left(\right. m + 2 \left.\right)^{2} - 8 m = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\right. m - 2 \left.\right)^{2} \geq 0 , \forall m\).

để pt có 2 no phân biệt thì cần có thêm△ ≠0hay m≠2

vậy để pt có 2no phân biệt thì m ≠2

Áp dụng hệ thức Viète ta có \(x_{1} + x_{2} = - m - 2 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) = - 2 m - 4 ; x_{1} x_{2} = 2 m\)

\(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\)

Biểu thức liên hệ giữa \(x_{1} , x_{2}\) không phụ thuộc vào tham số \(m\) là \(2 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + x_{1} x_{2} = - 4\).\(\)

có △=\(m^2+4>0\) suy ra pt có 2 no phân biệt

áp dụng hệ thức viet ta có:x1 +x2=1;x1.x2=-1

để p(x1)=p(x2)thì:

P(x1​)=P(x2​)

\(3 x_{1} - \sqrt{33 x_{1} + 25} = 3 x_{2} - \sqrt{33 x_{2} + 25}\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} - \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right) = 0\)

\(3 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right) - \frac{33 \left(\right. x_{1} - x_{2} \left.\right)}{\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25}} = 0\)[liên hợp và nhóm]

đến đây ta tính x1 -x2:đặt x1-x2=A

\(\rarr\) \(A^2\) =\(\overset{}{}\) \(x^21\) +\(x^22\) -2x1x2

hay \(A^2\) =\(\left(x1+x2\right)^2\) -4x1.x2

\(A^2\) =1+8=9

suy ra A=3 hoặc -3

xét cả 2 trường hợp ta đều có

1-\(\frac{11}{\sqrt{33 x_{1} + 25}+\sqrt{33 x_{2} + 25}}\) =0

\(\sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} = 11\)

\(\left(\right. \sqrt{33 x_{1} + 25} + \sqrt{33 x_{2} + 25} \left.\right)^{2} = 121\)

\(33 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 50 + 2 \sqrt{\left(\right. 33 x_{1} + 25 \left.\right) \left(\right. 33 x_{2} + 25 \left.\right)} = 121\) (*)Ta có VT(*) \(=33.1+50+2\sqrt{3 3^{2} x_{1} x_{2} + 33.25 \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) + 2 5^{2}}=83+2-332+2533+252=83+2361=83+83=121==83+2361=83+83=121=VP.\)\(\)

Gọi \(x_{1} , x_{2}\) là các nghiệm của phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\) và \(x_{3} , x_{4}\) là các nghiệm của phương trình \(x^{2} + 2025 x + 2 = 0\).

Vì

\(\Delta_{1} , \Delta_{2} > 0\)

nên hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Viète, ta có:

\({x_1+x_2=-2024,x_1x_2=2;x_3+x_4=-2025,x_3x_4=2}\)

Ta cần tính:

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right)\)

Xét:

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = x_{1}^{2} + x_{1} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2\)

Mà \(x_{1}\) là nghiệm của phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\), nên:

\(x_{1}^{2} + 2024 x_{1} + 2 = 0 \Rightarrow x_{1}^{2} = - 2024 x_{1} - 2\)

Thay vào:

\(x_{1}^{2} - 2025 x_{1} + 2 = \left(\right. - 2024 x_{1} - 2 \left.\right) - 2025 x_{1} + 2 = - 4049 x_{1}\)

Vậy:

\(\left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) = - 4049 x_{1} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Tương tự:

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2}^{2} - x_{2} \left(\right. x_{3} + x_{4} \left.\right) + x_{3} x_{4} = x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2\)

Mà \(x_{2}\) cũng là nghiệm của phương trình \(x^{2} + 2024 x + 2 = 0\), nên:

\(x_{2}^{2} + 2024 x_{2} + 2 = 0 \Rightarrow x_{2}^{2} = - 2024 x_{2} - 2\)

Thay vào:

\(x_{2}^{2} + 2025 x_{2} + 2 = \left(\right. - 2024 x_{2} - 2 \left.\right) + 2025 x_{2} + 2 = x_{2}\)

Vậy:

\(\left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = x_{2} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(A = \left(\right. x_{1} + x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{3} \left.\right) \left(\right. x_{1} + x_{4} \left.\right) \left(\right. x_{2} - x_{4} \left.\right) = \left(\right. - 4049 x_{1} \left.\right) \left(\right. x_{2} \left.\right) = - 4049 x_{1} x_{2}\)

Mà \(x_{1} x_{2} = 2\), nên:

\(A = - 4049 \times 2 = - 8098\)

Vậy:

\(\boxed{A = - 8098}\)

a)
Ta có phương trình:

\(x^{2} - 2 \left(\right. m + 1 \left.\right) x + 2 m - 2 = 0\)

Tính biệt thức \(\Delta^{'}\):

\(\Delta^{'} = \left(\right. m + 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 m - 2 \left.\right) = m^{2} + 3 > 0\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b)
Ta có:

\(B=x_1^2+2\left(\right.m+1\left.\right)x_2+2m-2\) \(= - x_{1}^{2} + \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right) x_{2} + x_{1} x_{2}\) \(= \left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)^{2}\) \(= \left(\right. 2 m + 2 \left.\right)^{2}\)\(\) \(\) \(\) \(\)

a,có delta =m2 +4>0 suy ra pt có 2 no phân biệt x1,x2 với mọi m

áp dụng hệ thức viet ta có: x1.x2=-1suy ra pt có 2 no trái dấu

b,Vì \(x_{1}\) là nghiệm của (1), nên:

\(x_1^2-mx_1-1=0\Rightarrow x_1^2=mx_1+1(*)\)

Tương tự, vì \(x_{2}\) là nghiệm của (1), nên:

\(x_2^2-mx_2-1=0\Rightarrow x_2^2=mx_2+1(**)\)

Thế \(\left(\right. * \left.\right)\) và \(\left(\right. * * \left.\right)\) vào biểu thức:

\(A = \frac{x_{1}^{2} + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{x_{2}^{2} + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

ta được:

\(A = \frac{\left(\right. m x_{1} + 1 \left.\right) + x_{1} - 1}{x_{1}} - \frac{\left(\right. m x_{2} + 1 \left.\right) + x_{2} - 1}{x_{2}}\)

rút gọn:

\(A = \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{1}}{x_{1}} - \frac{\left(\right. m + 1 \left.\right) x_{2}}{x_{2}}\) \(A = \left(\right. m + 1 \left.\right) - \left(\right. m + 1 \left.\right)\) \(A = 0\)