a) Ta có: A x ⊥ A C Ax⊥AC và B y By // A C AC Suy ra A x ⊥ B y Ax⊥By ⇒ A M B ^ = 9 0 ∘ ⇒ AMB =90 ∘ . Xét Δ M A Q ΔMAQ và Δ Q B M ΔQBM có M Q A ^ = B M Q ^ MQA ​ = BMQ ​ (so le trong); M Q MQ là cạnh chung; A M Q ^ = B Q M ^ AMQ ​ = BQM ​ ( A x Ax // Q B QB). Suy ra Δ M A Q = Δ Q B M ΔMAQ= ΔQBM (g-c-g) Suy ra M B Q ^ = M A Q ^ = 9 0 ∘ MBQ ​ = MAQ ​ =90 ∘ (2 góc tương ứng) Xét tứ giác A M B Q AMBQ có: Q A M ^ = A M B ^ = M B Q ^ = 9 0 ∘ QAM ​ = AMB = MBQ ​ =90 ∘ Suy ra tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. b) Do tứ giác A M B Q AMBQ là hình chữ nhật. Mà P P là trung điểm AB n e ^ n n e ^ nPQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1) Xét Δ A I B ΔAIB vuông tại I I và có I P IP là đường trung tuyến. Suy ra I P = 1 2 A B IP= 2 1 ​ AB (2) Từ (1) và (2) ⇒ Q P = I P ⇒ Δ P Q I ⇒QP=IP⇒ΔPQI cân tại P P

Xét Δ A B C ΔABC có B M BM là đường trung tuyến ứng với cạnh A C AC mà B M = 1 2 A C BM= 2 1 ​ AC suy ra Δ A B C ΔABC vuông tại B B. Tứ giác A B C D ABCD có A ^ = D ^ = B ^ = 90 ∘ A = D = B =90 ∘ Suy ra tứ giác A B C D ABCD là hình chữ nhật.

Ta có I A = I C IA=IC và I H = I D IH=ID. Suy ra A H C D AHCD là hình bình hành do có hai đường chéo A C AC và D H DH cắt nhau tại trung điểm I I. Mà A H C ^ = 9 0 ∘ AHC =90 ∘ suy ra A H C D AHCD là hình chữ nhật.

ABCD là hình bình hành nên

A D AD // B C BC và A D = B C AD=BC.

Do A D AD // B C BC nên

A D B ^ = C B D ^ ADB = CBD (so le trong)

Xét Δ A D H ΔADH và Δ C B K ΔCBK có:

A H D ^ = C K B ^ = 9 0 ∘ AHD = CKB =90 ∘ ;

A D = B C AD=BC (chứng minh trên);

A D H ^ = C B K ^ ADH = CBK (do A D B ^ = C B D ^ ADB = CBD ).

Do đó Δ A D H = Δ C B K Δ ADH=Δ CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra A H = C K AH=CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có A H ⊥ D B AH⊥ DB và C K ⊥ D B CK⊥ DB nên A H AH // C K CK

. Tứ giác A H C K AHCK có A H AH // C K CK và A H = C K AH=CK nên A H C K AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do A H C K AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo A C AC và H K HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I I là trung điểm của H K HK (giả thiết) nên I I là trung điểm của A C AC.

Do A B C D ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo A C AC và B D BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I I là trung điểm của A C AC nên I I là trung điểm của B D BD, hay I B = I D IB=ID.

tam giác A B C ABC có

hai đường trung tuyến B M BM và C N CN cắt nhau tại G G (giả thiết)

nên G G là trọng tâm của Δ A B C ΔABC.

Suy ra G M = G B 2 GM= 2 GB ​ ; G N = G C 2 GN= 2 GC ​ (tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P P là trung điểm của G B GB (giả thiết)

nên G P = P B = G B 2 GP=PB= 2 GB ​ (2)

Q Q là trung điểm của G C GC (giả thiết)

nên G Q = Q C = G C 2 GQ=QC= 2 GC ​ (3)

Từ (1), (2) và (3)

suy ra G M = G P GM=GP và G N = G Q GN=GQ.

Xét tứ giác P Q M N PQMN có:

G M = G P GM=GP và G N = G Q GN=GQ (chứng minh trên)

Do đó tứ giác P Q M N PQMN có hai đường chéo M P MP và N Q NQ cắt nhau tại trung điểm G G của mỗi đường nên là hình bình hành.

ABCD là hình bình hành nên ta có:

+ Hai đường chéo A C AC và B D BD cắt nhau tại O O nên

O A = O C OA=OC, O B = O D OB=OD.

+ A B AB // C D CD

nên A M AM // C N CN suy ra O A M ^ = O C N ^ OAM = OCN (hai góc so le trong).

Xét Δ O A M ΔOAM và Δ O C N Δ OCN có

(chứng minh trên) O A = O C OA=OC (chứng minh trên) A O M ^ = AOM =\widehat{C O N} (hai góc đối đỉnh) Do đó Δ O A M = Δ O C N Δ OAM=Δ OCN (g.c.g).

Suy ra A M = C N AM=CN (hai cạnh tương ứng).

Mặt khác, A B = C D AB=CD (chứng minh trên);

A B = A M + B M

AB=AM+BM; C D = C N + D N

CD=CN+DN.

Suy ra B M = D N BM=DN.

Xét tứ giác M B N D MBND có:

BM // D N DN (vì A B AB // C D CD)

B M = D N BM=DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác M B N D MBND là hình bình hành.

ABCD là hình bình hành nên

AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF

. Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD. Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF. Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF. Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên). Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành. Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên). Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành. b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, ta gọi giao điểm đó là O. Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC. Mà O là trung điểm của AF. Suy ra O cũng là trung điểm của BC. Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên

AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên

AE = BE = 1/2 AB, CF = DF = 1/2 CD Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD); AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có: AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành. Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành. b)

Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.