a) Có : Ax vuông góc AC và By // AC

=> AC vuông góc với By => góc AMB = 90°

Xét∆ MAQ và ∆ ABM có :

Góc MQA = góc BMQ ( slt)

MQ là cạnh chung

Góc AMA = góc BQM ( Ax // BQ)

Suy ra ∆ MAQ = ∆ ABM ( g.c.g)

Suy ra MBQ = MAQ = 90° ( 2 góc tương ứng )

Xét tứ giác AMBQ có :QAM = AMB = MBQ = 90 °

Suy ra AMBQ là hình chữ nhật

b) ABCD là hình chữ nhật

Mà P là trung điểm của AB nên PQ = 1/2 AB (1)

Xét∆ ALB vuông tại Ivà có IP là đường trung tuyến

=> IP = 1/2 AB (2)

Từ 1 và 2 => QP = IP = > ∆ PQI cân tại P

Xét∆ABC có : BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AC và BM​ = 1/2AC =>∆ ABC vuông tại B

Tứ giác ABCD có góc A = góc D ​= góc B = 90°

=> ABCD là hình chữ nhật ​

Có : IA = IC và IH = ID

Do đó AHCD là hình chữ nhật vì 2 đường chéo AC và HD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Lại có : góc H = 90 °

Do đó hình bình hành AHCD là hình chữ nhật ​

Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC nên ^ ADB = ^ CBD ( so le trong)

Xét ∆ ADH và ∆ CBK có:

^ AHD = ^CKB=90°

AD = BC ( cmt)

^ ADH = ^ CBK ( do ^ ADB = ^ CBD)

Do đó ∆ ADH = ∆ CBK ( cạnh huyền - góc nhọn )

Suy ra AH = CK ( hai cạnh tương ứng)

Có AH vuông góc BDBD và CK vuông góc BD nên AH // CK

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành ( 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau )

b) Do AHCK là hình bình hành nên hai đường chéo ACAC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của HK ( GT) nên I là trung điểm của AC

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BDBD hay IB = ID

a)ABCD là hình bình hành nênnên AD = BC và AD // BC

Mà E là trung điểm của AD nên AE = DE

F là trung điểm của BC nên BF = FC

Suy ra DE = BFBF

Tứ giác EBFD cócó DE // BF ( AD // BC ) ; DE = BF ( cmt) nên EBFD là hình bình hành) ( 1 cặp cạnh đối song song là bằng nhau)

b) Có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéochéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD nên O cũng là trung điểm của EF

Vậy 3 điểm E , O , F thẳng hàng

Xét ∆ ABC có hai đường chéo là BM và CN cắt nhau tại G ( gt) nên gọi G là trọng tâm của ∆ ABC

Suy ra GM = GB / 2 ; GN = GC / 2 ( t/c trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB ( gt) GP = PB = GB / 2 ( 2 )

Q là trung điểm của GC ( gt) nên GQ = QC = GC / 2 ( 3 )

Từ (1) ; (2) và (3) GM = GP ; GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có : GM = GP ; GN = GQ ( chứng minh trên )

Suy ra tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD ; AB // CD

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm của AE , DF

Suy ra AE = DF ; AB = BE = DC = FC

Tứ giác AEFD có :

AE // DF ( AB // CD)

AE = DF ( cmt)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tứ giác ABFC  có :

AB // FC ( AB // FC )

AB = FC ( cmt)

Do đó tứ giác ABFC là hình  bình hành

b) vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và ED nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ta gọi giao điểm đó là O

Hình bình hành ABFC có hai đường chéo AF và BC

Mà O là trung điểm của AF

Nên O cũng là trung điểm của BC

Vậy trung điểm của các đoạn thẳng AF ; ED ; BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên có :

- Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên AO = OC ; BO = BD

- AB // CD nên AM // CN suy ra ^OAM = ^OCN ( hai góc so le trong )

Xét ∆ OAM và ∆ OCN có :

^OAM = ^ OCN

OA = OC ( cmt)

^AOM = ^CON ( đối đỉnh)

Do đó ∆ OAM = ∆ OCN ( c.g.c )

Suy ra AM = CN ( hai cạnh tương ứng)

Mặt khác : AB = CD ( cmt)

AB = AM + MB ; CD = CN + ND

Suy ra BM = ND

Tứ giác BMND có :

BM // ND ( AB // CD )

BM = ND ( cmt)

Từ đó suy ra tứ giác BMND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD ; AB // CD

Mà E , F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên AE = EB = 1/2 AB ; DF = FC = 1/2 CD

Do đó AE = EB = DF = FC

Tứ giác AEFD có :

AE // DF ( AB // CD )

AE = DF ( cmt )

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Tứ giác AECF có :

AE // CF ( AB // CD )

AE = CF ( cmt)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành

Vậy 2 tứ giác AEFD ; AECF là hình bình hành

b) vì AEFD là hình bình hành nên EF = AD

Vì AECF là hình bình hành  nên AF = EC

Vậy EF = AD ; AF = EC