a) Ta có \(\left(\right. 2 x + 1 \left.\right)^{2} - 9 x^{2} = 0\)

\(\left(\right. 2 x + 1 - 3 x \left.\right) \left(\right. 2 x + 1 + 3 x \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. - x + 1 \left.\right) \left(\right. 5 x + 1 \left.\right) = 0\)

+ Giải phương trình \(- x + 1 = 0\)

\(x = 1\)

+ Giải phương trình \(5 x + 1 = 0\)

\(x = \frac{- 1}{5}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = \frac{- 1}{5}\).

b) Ta có: \(\left{\right. & 5 x - 4 y = 3 \\ & 2 x + y = 4\)

\(\left{\right. & 5 x - 4 y = 3 \\ & 8 x + 4 y = 16\)

\(\left{\right. & 13 x = 19 \\ & 2 x + y = 4\)

\(\left{\right. & x = \frac{19}{13} \\ & y = \frac{14}{13}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \&\text{nbsp}; \left(\right. \frac{19}{13} ; \frac{14}{13} \left.\right)\).

 a) Ta có \(\left(\right. 2 x + 1 \left.\right)^{2} - 9 x^{2} = 0\)

\(\left(\right. 2 x + 1 - 3 x \left.\right) \left(\right. 2 x + 1 + 3 x \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. - x + 1 \left.\right) \left(\right. 5 x + 1 \left.\right) = 0\)

+ Giải phương trình \(- x + 1 = 0\)

\(x = 1\)

+ Giải phương trình \(5 x + 1 = 0\)

\(x = \frac{- 1}{5}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = \frac{- 1}{5}\).

b) Ta có: \(\left{\right. & 5 x - 4 y = 3 \\ & 2 x + y = 4\)

\(\left{\right. & 5 x - 4 y = 3 \\ & 8 x + 4 y = 16\)

\(\left{\right. & 13 x = 19 \\ & 2 x + y = 4\)

\(\left{\right. & x = \frac{19}{13} \\ & y = \frac{14}{13}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \&\text{nbsp}; \left(\right. \frac{19}{13} ; \frac{14}{13} \left.\right)\).

a) \(\Delta B K C \sim \Delta D H C\) (g. g)

Vì \(\hat{K} = \hat{H} = 9 0^{\circ}\) 

\(\hat{D} = \hat{B}\) (cùng bằng \(\hat{A}\))

\(\frac{K C}{H C} = \frac{B C}{D C}\) hay \(\frac{K C}{H C} = \frac{B C}{A B}\) (*)

Xét tứ giác \(A K C H\) có: \(\hat{A} + \hat{H C K} = 18 0^{\circ}\);

\(\hat{A} + \hat{A B C} = 18 0^{\circ}\)

Suy ra: \(\hat{A B C} = \hat{H C K}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\Delta C K H \sim \Delta B C A\) (c-g-c)

b) \(\Delta C K H \sim \Delta B C A\) suy ra \(\frac{H K}{A C} = \frac{C K}{B C}\)

\(H K = A C . \frac{C K}{B C} = A C . sin ⁡ \hat{K B C}\) mà \(\hat{B A D} = \hat{K B C}\) (cặp góc đồng vị) nên \(H K = A C . sin ⁡ \hat{B A D}\).

Nối \(B\) và \(C\). Kẻ \(C H \bot A B\) (\(H \in A B\)).

Sau \(1 , 5\) giờ tàu \(B\) chạy được quãng đường là: \(A B = 20.1 , 5 = 30\) (hải lí).

Sau \(1 , 5\) giờ tàu \(C\) chạy được quãng đường là: \(A C = 15.1 , 5 = 22 , 5\) (hải lí).

Xét tam giác \(A H C\) vuông tại \(H\), ta có:

\(C H = A C . sin ⁡ A = 22 , 5. sin ⁡ 6 0^{\circ} \&\text{nbsp}; = \frac{45 \sqrt{3}}{4}\) (hải lí).

\(A H = A C . cos ⁡ A = 22 , 5. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 11 , 25\) (hải lí).

Do đó \(B H = A B - A H = 30 - 11 , 25 = 18 , 75\) (hải lí).

Mặt khác, tam giác \(C H B\) vuông tại \(H\), áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(B C = \sqrt{B H^{2} + C H^{2}} = \sqrt{\left(\right. 18 , 75 \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{45 \sqrt{3}}{4} \left.\right)^{2}} \approx 27 , 04\) (hải lí).

Vậy sau \(1 , 5\) giờ tàu \(B\) cách tàu \(C\) là \(27 , 04\) hải lí.

ọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là \(x\) (km/h) (\(x > 6\) ).

Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là \(x + 6\) (km/h)

Ta có \(x \leq 40\) nên \(x + 6 \leq 40 + 6\), tức là \(x + 6 \leq 46\)

Gọi \(s\) (km) là quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút \(= 2 , 5\) giờ

Ta có \(s = 2 , 5. \left(\right. x + 6 \left.\right)\) (km).

Do \(x + 6 \leq 46\) nên \(2 , 5. \left(\right. x + 6 \left.\right) < 2 , 5.46\) hay \(s \leq 115\)

Vậy quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút không vượt quá \(115\) km.