a) Điều kiện \(1 - x \neq 0\); \(1 - 2 x \neq 0\) và \(1 + x \neq 0\) hay \(x \neq 1\); \(x \neq \frac{1}{2}\) và \(x \neq - 1\)

Ta có \(A = \left[\right. \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{1 - x^{2}} \left]\right. \&\text{nbsp}; : \frac{1 - 2 x}{x^{2} - 1}\)

\(A = \left[\right. \frac{1}{1 - x} + \frac{2}{x + 1} - \frac{5 - x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)} \left]\right. \&\text{nbsp}; : \frac{2 x - 1}{1 - x^{2}}\)

\(A = \left[\right. \frac{x + 1}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)} + \frac{2 \left(\right. 1 - x \left.\right)}{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. 1 - x \left.\right)} - \frac{5 - x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. x + 1 \left.\right)} \left]\right. \&\text{nbsp}; : \frac{2 x - 1}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}\)

\(A = \left[\right. \frac{x + 1 + 2 - 2 x - 5 + x}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)} \left]\right. \&\text{nbsp}; . \frac{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}{2 x - 1}\)

\(A = \left[\right. \frac{- 2}{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)} \left]\right. . \frac{\left(\right. 1 - x \left.\right) \left(\right. 1 + x \left.\right)}{2 x - 1} = \frac{- 2}{2 x - 1}\)

b) Để \(A > 0\) thì \(\frac{- 2}{2 x - 1} > 0\)

\(2 x - 1 < 0\) vì \(- 2 < 0\)

\(x < \frac{1}{2}\) (nhận)

Vậy \(x < \frac{1}{2}\) và \(x \&\text{nbsp}; \neq - 1\) thì \(A > 0\).

a) \(x^{2} - 3 x + 1 > 2 \left(\right. x - 1 \left.\right) - x \left(\right. 3 - x \left.\right)\)

\(x^{2} - 3 x + 1 > 2 x - 2 - 3 x + x^{2}\)

\(- 2 x > - 3\)

\(x < \frac{3}{2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x < \frac{3}{2}\)

b) \(\left(\left(\right. x - 1 \left.\right)\right)^{2} + x^{2} \leq \left(\left(\right. x + 1 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. x + 2 \left.\right)\right)^{2}\)

\(2 x^{2} - 2 x + 1 \leq 2 x^{2} + 6 x + 5\)

\(- 8 x \leq 4\)

\(x \geq - \frac{1}{2}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x \geq - \frac{1}{2}\)

c) \(\left(\right. x^{2} + 1 \left.\right) \left(\right. x - 6 \left.\right) \leq \left(\left(\right. x - 2 \left.\right)\right)^{3}\)

\(x^{3} - 6 x^{2} + x - 6 \leq x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8\)

\(- 11 x \leq - 2\)

\(x \geq \frac{2}{11}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x \geq \frac{2}{11}\).

a) \(\frac{3 x + 5}{2} - x \geq 1 + \frac{x + 2}{3}\)

\(\frac{3 \left(\right. 3 x + 5 \left.\right)}{6} - \frac{6 x}{6} \geq \frac{6}{6} + \frac{2 \left(\right. x + 2 \left.\right)}{6}\)

\(9 x + 15 - 6 x \geq 6 + 2 x + 4\)

\(9 x - 6 x - 2 x \geq 6 + 4 - 15\)

\(x \geq - 5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x \geq - 5\)

b) \(\frac{x - 2}{3} - x - 2 \leq \frac{x - 17}{2}\)

\(\frac{2 \left(\right. x - 2 \left.\right) - 6 x - 6.2}{6} \leq \frac{3 \left(\right. x - 17 \left.\right)}{6}\)

\(2 x - 4 - 6 x - 12 \leq 3 x - 51\)

\(- 4 x - 16 \leq 3 x - 51\)

\(- 4 x - 3 x \leq - 51 + 16\)

\(- 7 x \leq - 35\)

\(x \geq 5\)

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x \geq 5\)

c) \(\frac{2 x + 1}{3} - \frac{x - 4}{4} \leq \frac{3 x + 1}{6} - \frac{x - 4}{12}\)

\(\frac{4 \left(\right. 2 x + 1 \left.\right) - 3 \left(\right. x - 4 \left.\right)}{12} \leq \frac{2 \left(\right. 3 x + 1 \left.\right) - \left(\right. x - 4 \left.\right)}{12}\)

8x+4−3x+12≤6x+2−x+4

\(5 x + 16 \leq 5 x + 6\)

\(5 x - 5 x \leq 6 - 16\)

\(0 x \leq - 10\)

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm.

a) \(\frac{3 \left(\right. 2 x + 1 \left.\right)}{20} + 1 > \frac{3 x + 52}{10}\)

\(\frac{3 \left(\right. 2 x + 1 \left.\right)}{20} + \frac{20}{20} > \frac{2 \left(\right. 3 x + 52 \left.\right)}{20}\)

\(6 x + 3 + 20 > 6 x + 104\)

\(0 x > 81\)

Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) \(\frac{4 x - 1}{2} + \frac{6 x - 19}{6} \leq \frac{9 x - 11}{3}\)

\(\frac{3 \left(\right. 4 x - 1 \left.\right)}{6} + \frac{6 x - 19}{6} \leq \frac{2 \left(\right. 9 x - 11 \left.\right)}{6}\)

\(12 x - 3 + 6 x - 19 \leq 18 x - 22\)

\(0 x \leq 0\)

Bất phương trình có nghiệm bất kì.

a) \(\Delta B K C \sim \Delta D H C\) (g. g)

Vì \(\hat{K} = \hat{H} = 9 0^{\circ}\) 

\(\hat{D} = \hat{B}\) (cùng bằng \(\hat{A}\))

\(\frac{K C}{H C} = \frac{B C}{D C}\) hay \(\frac{K C}{H C} = \frac{B C}{A B}\) (*)

Xét tứ giác \(A K C H\) có: \(\hat{A} + \hat{H C K} = 18 0^{\circ}\);

\(\hat{A} + \hat{A B C} = 18 0^{\circ}\)

Suy ra: \(\hat{A B C} = \hat{H C K}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\Delta C K H \sim \Delta B C A\) (c-g-c)

b) \(\Delta C K H \sim \Delta B C A\) suy ra \(\frac{H K}{A C} = \frac{C K}{B C}\)

\(H K = A C . \frac{C K}{B C} = A C . sin ⁡ \hat{K B C}\) mà \(\hat{B A D} = \hat{K B C}\) (cặp góc đồng vị) nên \(H K = A C . sin ⁡ \hat{B A D}\)

Nối \(B\) và \(C\). Kẻ \(C H \bot A B\) (\(H \in A B\)).

Sau \(1 , 5\) giờ tàu \(B\) chạy được quãng đường là: \(A B = 20.1 , 5 = 30\) (hải lí).

Sau \(1 , 5\) giờ tàu \(C\) chạy được quãng đường là: \(A C = 15.1 , 5 = 22 , 5\) (hải lí).

Xét tam giác \(A H C\) vuông tại \(H\), ta có:

\(C H = A C . sin ⁡ A = 22 , 5. sin ⁡ 6 0^{\circ} \&\text{nbsp}; = \frac{45 \sqrt{3}}{4}\) (hải lí).

\(A H = A C . cos ⁡ A = 22 , 5. cos ⁡ 6 0^{\circ} = 11 , 25\) (hải lí).

Do đó \(B H = A B - A H = 30 - 11 , 25 = 18 , 75\) (hải lí).

Mặt khác, tam giác \(C H B\) vuông tại \(H\), áp dụng định lí Pythagore ta có:

\(B C = \sqrt{B H^{2} + C H^{2}} = \sqrt{\left(\right. 18 , 75 \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{45 \sqrt{3}}{4} \left.\right)^{2}} \approx 27 , 04\) (hải lí).

Vậy sau \(1 , 5\) giờ tàu \(B\) cách tàu \(C\) là \(27 , 04\) hải lí.

Gọi \(x , y\)(đồng) lần lượt là giá niêm yết của mỗi mặt hàng \(A\) và \(B\) \(\left(\right. x > 0 , y > 0 \left.\right)\)

Một khách hàng mua hai món hàng \(A\) và một món hàng \(B\) thì phải trả số tiền là \(362 000\) đồng nên ta có:

\(80 \% x . 2 + 85 \% y = 362 000\) hay \(1 , 6 x + 0 , 85 y = 362 000\) (1)

Trong khung giờ vàng khách hàng mua ba món hàng \(A\) và hai món hàng \(B\) trong khung giờ vàng nên phải trả số tiền là \(552 000\) đồng nên ta có:

\(70 \% x . 3 + 75 \% y . 2 = 552 000\) hay \(2 , 1 x + 1 , 5 y = 552 000\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\begin{cases}1,6x+0,85y=362000\\ 2,1x+1,5y=552000\end{cases}{2,1x+1,5y=552000}\)

Giải hệ phương trình ta được: \(\begin{cases}x=120000\\ y=200000\end{cases}\)

Vậy giá niêm yết của mặt hàng \(A\) là \(120 000\) đồng, mặt hàng \(B\) là \(200 000\) đồng.

Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là \(x\) (km/h) (\(x > 6\) ).

Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là \(x + 6\) (km/h)

Ta có \(x \leq 40\) nên \(x + 6 \leq 40 + 6\), tức là \(x + 6 \leq 46\)

Gọi \(s\) (km) là quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút \(= 2 , 5\) giờ

Ta có \(s = 2 , 5. \left(\right. x + 6 \left.\right)\) (km).

Do \(x + 6 \leq 46\) nên \(2 , 5. \left(\right. x + 6 \left.\right) < 2 , 5.46\) hay \(s \leq 115\)

Vậy quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút không vượt quá \(115\) km.

a) Ta có \(\left(\right. 2 x + 1 \left.\right)^{2} - 9 x^{2} = 0\)

\(\left(\right. 2 x + 1 - 3 x \left.\right) \left(\right. 2 x + 1 + 3 x \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. - x + 1 \left.\right) \left(\right. 5 x + 1 \left.\right) = 0\)

+ Giải phương trình \(- x + 1 = 0\)

\(x = 1\)

+ Giải phương trình \(5 x + 1 = 0\)

\(x = \frac{- 1}{5}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = \frac{- 1}{5}\).

b) Ta có:\(\begin{cases}5x-4y=3\\ 2x+y=4\end{cases}\)

\({\begin{cases}5x-4y=3\\ 8x+4y=16\end{cases}}\)

\({\begin{cases}13x=19\\ 2x+y=4\end{cases}}\)

\(\begin{cases}x=\frac{19}{13}\\ y=\frac{14}{13}\end{cases}\)​
\(\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(\right. x ; y \left.\right) = \&\text{nbsp}; \left(\right. \frac{19}{13} ; \frac{14}{13} \left.\right)\).

Gọi x là số đo cung nhỏ AB (x > 0)

Số đo cung lớn AB là 2x

Ta có:

x + 2x = 360⁰

3x = 360⁰

x = 360⁰ : 3

x = 120⁰

⇒ ∠AOB = 120⁰

∆AOB có:

OA = OB = R

⇒ ∆AOB cân tại O

⇒ ∠OAB = ∠OBA = (180⁰ - ∠AOB) : 2

= (180⁰ - 120⁰) : 2

= 30⁰

Ta có hình vẽ sau:

Vẽ đường cao OH của ∆OAB

⇒ ∆OAH vuông tại H

⇒ cosOAH = AH : OA

⇒ AH = OA.cosOAH

= R.cos30⁰

Do OH ⊥ AB

⇒ H là trung điểm của AB

⇒ AB = 2AH