Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\). Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(O\) là trung điểm của cả \(A C\) và \(B D\). Do đó \(O\) là tâm đối xứng của hình bình hành, tức phép đối xứng tâm \(O\) biến \(A\) thành \(C\) và \(B\) thành \(D\).

1. Vì \(A H \bot B D\) và \(C K \bot B D\) nên cả \(A H\) và \(C K\) đều vuông góc với cùng một đường thẳng \(B D\). Vậy \(A H \parallel C K\).
   Áp dụng đối xứng tâm \(O\): điểm \(A\) biến thành \(C\) và đường \(B D\) bất biến (vì đi qua tâm đối xứng), nên hình ảnh của đoạn vuông góc \(A H\) là đoạn vuông góc \(C K\) (và hình ảnh của \(H\) là \(K\)). Do đó đoạn \(A K\) là ảnh của đoạn \(H C\) nên \(A K \parallel H C\) và có cùng độ dài.
   Hai cặp cạnh đối của tứ giác \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ H \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ K\) song song, nên \(A H C K\) là hình bình hành.
2. Vì phép đối xứng tâm \(O\) biến \(H\) thành \(K\), hai điểm \(H\) và \(K\) đối xứng nhau qua \(O\). Do đó \(O\) là trung điểm của đoạn \(H K\). Nhưng \(I\) cũng là trung điểm của \(H K\) theo giả thiết, nên \(I \equiv O\).
   Vì \(O\) là trung điểm của \(B D\), ta có \(I B = I O = I D\). Vậy \(I B = I D\).

Kết luận: \(A H C K\) là hình bình hành và \(I B = I D\). ∎

Lấy \(\overset{⃗}{A} = 0 , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{B} = \mathbf{b} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{D} = \mathbf{d}\). Vì \(A B C D\) là hình bình hành nên \(\overset{⃗}{C} = \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{D} = \mathbf{b} + \mathbf{d}\).

Ta có

\(\overset{⃗}{E} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{D}}{2} = \frac{\mathbf{d}}{2} , \overset{⃗}{F} = \frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\mathbf{b} + \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right)}{2} = \mathbf{b} + \frac{\mathbf{d}}{2} .\)

a) Tính các vectơ

\(\overset{⃗}{E B} = \overset{⃗}{B} - \overset{⃗}{E} = \mathbf{b} - \frac{\mathbf{d}}{2} , \overset{⃗}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \mathbf{d} - \left(\right. \mathbf{b} + \frac{\mathbf{d}}{2} \left.\right) = - \mathbf{b} + \frac{\mathbf{d}}{2} .\)

Rõ ràng \(\overset{⃗}{E B} = - \overset{⃗}{F D}\) nên \(E B \parallel F D\) và \(E B = F D\).
Ngoài ra

\(\overset{⃗}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \frac{\mathbf{d}}{2} , \overset{⃗}{E D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{E} = \frac{\mathbf{d}}{2} ,\)

nên \(B F \parallel E D\) và \(B F = E D\). Do đó \(E B F D\) là hình bình hành.

b) Giao hai đường chéo \(O\) có tọa độ

\(\overset{⃗}{O} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{d}}{2} .\)

Ta có

\(\overset{⃗}{E O} = \overset{⃗}{O} - \overset{⃗}{E} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{d}}{2} - \frac{\mathbf{d}}{2} = \frac{\mathbf{b}}{2} ,\) \(\overset{⃗}{O F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{O} = \left(\right. \mathbf{b} + \frac{\mathbf{d}}{2} \left.\right) - \frac{\mathbf{b} + \mathbf{d}}{2} = \frac{\mathbf{b}}{2} .\)

Do \(\overset{⃗}{E O}\) và \(\overset{⃗}{O F}\) cùng phương và cùng độ dài, nên \(E , O , F\) thẳng hàng và \(O\) là trung điểm đoạn \(E F\).

Lấy vectơ \(\overset{⃗}{A} = 0 , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{B} = \mathbf{b} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{C} = \mathbf{c}\).
Khi đó

\(\overset{⃗}{M} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\mathbf{c}}{2} , \overset{⃗}{N} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B}}{2} = \frac{\mathbf{b}}{2} .\)

Trọng tâm \(G\) có tọa độ \(\overset{⃗}{G} = \frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{3} = \frac{\mathbf{b} + \mathbf{c}}{3} .\)
Tọa độ \(P , Q\) (trung điểm của \(G B , G C\)):

\(\overset{⃗}{P} = \frac{\overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{B}}{2} = \frac{4 \mathbf{b} + \mathbf{c}}{6} , \overset{⃗}{Q} = \frac{\overset{⃗}{G} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\mathbf{b} + 4 \mathbf{c}}{6} .\)

Tính vectơ các cạnh:

\(\overset{⃗}{P Q} = \overset{⃗}{Q} - \overset{⃗}{P} = \frac{- 3 \mathbf{b} + 3 \mathbf{c}}{6} = \frac{\mathbf{c} - \mathbf{b}}{2} ,\) \(\overset{⃗}{M N} = \overset{⃗}{N} - \overset{⃗}{M} = \frac{3 \mathbf{b} - 3 \mathbf{c}}{6} = \frac{\mathbf{b} - \mathbf{c}}{2} = - \overset{⃗}{P Q} .\)

Vậy \(P Q \parallel M N\) và \(P Q = M N\) (phân chiều khác).

Tiếp theo

\(\overset{⃗}{Q M} = \overset{⃗}{M} - \overset{⃗}{Q} = \frac{3 \mathbf{c} - \left(\right. \mathbf{b} + 4 \mathbf{c} \left.\right)}{6} = \frac{- \mathbf{b} - \mathbf{c}}{6} ,\) \(\overset{⃗}{P N} = \overset{⃗}{N} - \overset{⃗}{P} = \frac{3 \mathbf{b} - \left(\right. 4 \mathbf{b} + \mathbf{c} \left.\right)}{6} = \frac{- \mathbf{b} - \mathbf{c}}{6} .\)

Do đó \(\overset{⃗}{Q M} = \overset{⃗}{P N}\), tức \(Q M \parallel P N\) và bằng độ dài.

Hai cặp cạnh đối song song nên \(P Q M N\) là hình bình hành. ∎

Trong hình bình hành, phép quay trung tâm \(O\) góc \(180^{\circ}\) (tịnh tiến đảo dấu, gọi là đối xứng tâm \(O\)) biến \(A \rightarrowtail C\) và \(B \rightarrowtail D\). Vì đường thẳng đi qua \(O\) biến đổi dưới phép đối xứng tâm thành chính nó, nên điểm \(M \in A B\) được biến thành điểm \(N \in C D\). Do đó

\(O A = O C , O M = O N , \angle A O M = \angle C O N ,\)

suy ra \(\triangle O A M \cong \triangle O C N\) (c.g.c).

Áp dụng đối xứng tâm \(O\) lần nữa, đoạn \(M B\) được biến thành đoạn \(N D\) (vì \(M \rightarrowtail N , \textrm{ }\textrm{ } B \rightarrowtail D\)), nên \(M B \parallel N D\) và \(M B = N D\). Tương tự \(B N\) biến thành \(M D\) nên \(B N \parallel M D\). Vậy hai cặp cạnh đối song song, do đó \(M B N D\) là hình bình hành. ∎

Lấy vectơ \(\overset{⃗}{A B} = \mathbf{b} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{A D} = \mathbf{d}\). Với gốc tại \(A\) ta có \(A = 0 , \&\text{nbsp}; B = \mathbf{b} , \&\text{nbsp}; D = \mathbf{d} , \&\text{nbsp}; C = \mathbf{b} + \mathbf{d}\).

Từ điều kiện:

• \(B\) là trung điểm của \(A E\) nên \(\overset{⃗}{E} = 2 \overset{⃗}{B} = 2 \mathbf{b}\).
• \(C\) là trung điểm của \(D F\) nên \(\overset{⃗}{F} = 2 \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{D} = 2 \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \mathbf{d} = 2 \mathbf{b} + \mathbf{d}\).

a) Xét tứ giác \(A E F D\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\)):

\(\overset{⃗}{A E} = \overset{⃗}{E} - \overset{⃗}{A} = 2 \mathbf{b} , \overset{⃗}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \mathbf{d} - \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) = - 2 \mathbf{b} ,\)

nên \(\overset{⃗}{A E}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{⃗}{D F}\).
Ngoài ra

\(\overset{⃗}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - 2 \mathbf{b} = \mathbf{d} , \overset{⃗}{D A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{D} = - \mathbf{d} ,\)

nên \(\overset{⃗}{E F}\) song song và bằng độ dài với \(\overset{⃗}{A D}\). Vậy \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A B F C\) (theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ B \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C\)):

\(\overset{⃗}{A B} = \mathbf{b} , \overset{⃗}{F C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{F} = \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) = - \mathbf{b} ,\)

và

\(\overset{⃗}{B F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{B} = \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{d} , \overset{⃗}{C A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{C} = - \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) .\)

Do đó hai cặp cạnh đối song song, nên \(A B F C\) là hình bình hành.

b) Tính trung điểm các đoạn:

• Trung điểm \(M_{A F}\) của \(A F\): \(\frac{\overset{⃗}{A} + \overset{⃗}{F}}{2} = \frac{0 + \left(\right. 2 \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right)}{2} = \mathbf{b} + \frac{\mathbf{d}}{2} .\)
• Trung điểm \(M_{D E}\) của \(D E\): \(\frac{\overset{⃗}{D} + \overset{⃗}{E}}{2} = \frac{\mathbf{d} + 2 \mathbf{b}}{2} = \mathbf{b} + \frac{\mathbf{d}}{2} .\)
• Trung điểm \(M_{B C}\) của \(B C\): \(\frac{\overset{⃗}{B} + \overset{⃗}{C}}{2} = \frac{\mathbf{b} + \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right)}{2} = \mathbf{b} + \frac{\mathbf{d}}{2} .\)

Ba trung điểm đều trùng nhau (cùng bằng \(\mathbf{b} + \frac{\mathbf{d}}{2}\)). ∎

Đặt vectơ \(\overset{⃗}{A B} = \mathbf{b} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{A D} = \mathbf{d}\). (Lấy \(A\) làm gốc nên \(\overset{⃗}{A} = 0 , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{B} = \mathbf{b} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{D} = \mathbf{d} , \&\text{nbsp}; \overset{⃗}{C} = \mathbf{b} + \mathbf{d}\).)

Ta có

\(\overset{⃗}{E} = \frac{1}{2} \overset{⃗}{B} = \frac{1}{2} \mathbf{b} , \overset{⃗}{F} = \frac{\overset{⃗}{C} + \overset{⃗}{D}}{2} = \frac{\left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) + \mathbf{d}}{2} = \frac{1}{2} \mathbf{b} + \mathbf{d} .\)

Tính các vectơ cạnh cần thiết:

\(\overset{⃗}{A E} = \overset{⃗}{E} = \frac{1}{2} \mathbf{b} ,\) \(\overset{⃗}{E F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \frac{1}{2} \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \frac{1}{2} \mathbf{b} = \mathbf{d} ,\) \(\overset{⃗}{F D} = \overset{⃗}{D} - \overset{⃗}{F} = \mathbf{d} - \left(\right. \frac{1}{2} \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) = - \frac{1}{2} \mathbf{b} .\)

a) Xét tứ giác \(A E F D\) theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ D\).
\(\overset{⃗}{A E} = \frac{1}{2} \mathbf{b}\) và \(\overset{⃗}{F D} = - \frac{1}{2} \mathbf{b}\) nên \(\overset{⃗}{A E}\) song song và bằng về độ dài với \(\overset{⃗}{D F}\) (đối chiều).
\(\overset{⃗}{E F} = \mathbf{d}\) và \(\overset{⃗}{D A} = - \overset{⃗}{A D} = - \mathbf{d}\) nên \(\overset{⃗}{E F}\) song song và bằng về độ dài với \(\overset{⃗}{A D}\) (đối chiều).
Vậy hai cặp cạnh đối song song, nên \(A E F D\) là hình bình hành.

Xét tứ giác \(A E C F\) theo thứ tự \(A \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ E \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ C \textrm{ }⁣ - \textrm{ }⁣ F\).
\(\overset{⃗}{A E} = \frac{1}{2} \mathbf{b}\) và \(\overset{⃗}{C F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{C} = \left(\right. \frac{1}{2} \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) = - \frac{1}{2} \mathbf{b}\) ⇒ \(A E \parallel C F\) và bằng về độ dài.
\(\overset{⃗}{E C} = \overset{⃗}{C} - \overset{⃗}{E} = \left(\right. \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right) - \frac{1}{2} \mathbf{b} = \frac{1}{2} \mathbf{b} + \mathbf{d}\) và \(\overset{⃗}{F A} = \overset{⃗}{A} - \overset{⃗}{F} = - \left(\right. \frac{1}{2} \mathbf{b} + \mathbf{d} \left.\right)\) ⇒ \(E C \parallel F A\) và bằng về độ dài.
Do đó \(A E C F\) cũng là hình bình hành.

b) Từ trên: \(\overset{⃗}{E F} = \mathbf{d} = \overset{⃗}{A D}\) nên \(E F = A D\).
Và \(\overset{⃗}{A F} = \overset{⃗}{F} - \overset{⃗}{A} = \frac{1}{2} \mathbf{b} + \mathbf{d} = \overset{⃗}{E C}\) nên \(A F = E C\).

My favorite hobby is playing football. I started it when I was ten years old. I usually play football with my friends after school. We often play in the school yard or at the park near my house in the afternoon. I think playing football is very fun and good for my health. It helps me stay strong and make new friends.