Đặt \(O\) làm gốc tọa độ, chọn \(A B\) trùng trục \(O x\), \(C D\) trùng trục \(O y\).
Khi đó:

\(A \left(\right. R , 0 \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } C \left(\right. 0 , R \left.\right) , \textrm{ }\textrm{ } O \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)

Trên bán kính \(A O\) lấy \(I\) sao cho

\(A I = \frac{2}{3} A O = \frac{2 R}{3} \Rightarrow I \left(\right. \frac{R}{3} , 0 \left.\right)\)

Phương trình đường thẳng \(C I\) có dạng:

\(y - R = \frac{0 - R}{\frac{R}{3} - 0} \left(\right. x - 0 \left.\right) = - 3 \left(\right. x \left.\right) \Rightarrow y = R - 3 x\)

Giao điểm \(E\) của \(C I\) với đường tròn \(\left(\right. O \left.\right) : x^{2} + y^{2} = R^{2}\):

\(x^{2} + \left(\right. R - 3 x \left.\right)^{2} = R^{2} \Rightarrow 10 x^{2} - 6 R x = 0 \Rightarrow x = \frac{3 R}{5}\) \(y = R - 3 x = R - \frac{9 R}{5} = - \frac{4 R}{5}\)

Suy ra:

\(C E = \sqrt{\left(\left(\right. \frac{3 R}{5} - 0 \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. - \frac{4 R}{5} - R \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{\frac{9 R^{2}}{25} + \frac{81 R^{2}}{25}} = \frac{3 \sqrt{10}}{5} R\)

Do đó:

\(R=\frac{5}{3 \sqrt{10}}\textrm{ }CE\)

a,

Vì \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\) và \(A B \leq A C\) nên \(B C\) là cạnh huyền. Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn tiếp xúc với \(B C\) tại \(D\).

Do tính chất tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn nội tiếp:

\(B D = s - A C , D C = s - A B\)

trong đó \(s = \frac{A B + A C + B C}{2}\) là nửa chu vi tam giác.

Suy ra

\(B D = \frac{A B + A C + B C}{2} - A C = \frac{A B + B C - A C}{2}\)

b,

Xét diện tích tam giác \(A B C\).

Vì \(A B C\) vuông tại \(A\):

\(S_{A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot A C\)

Mặt khác, với tam giác vuông:

\(r = \frac{A B + A C - B C}{2}\)

và

\(S_{A B C} = r \cdot s\)

Thay \(r , s\) vào:

\(S_{A B C} = \frac{A B + A C - B C}{2} \cdot \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{\left(\right. A B + A C \left.\right)^{2} - B C^{2}}{4}\)

Do \(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}\):

\(S_{A B C} = \frac{2 A B \cdot A C}{4} = \frac{A B \cdot A C}{2}\)

Mà

\(B D = s - A C , D C = s - A B \Rightarrow B D \cdot D C = \left(\right. s - A C \left.\right) \left(\right. s - A B \left.\right)\) \(= \frac{A B \cdot A C}{2}\)

Suy ra:

\(S_{ABC}=BD\cdot DC\)

\(B C = \sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = \sqrt{9^{2} + 12^{2}} = \sqrt{225} = 15 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

Bước 2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp

Với tam giác vuông:

\(r = \frac{A B + A C - B C}{2} = \frac{9 + 12 - 15}{2} = 3 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

Bước 3. Đặt hệ trục tọa độ cho dễ tính

• \(A \left(\right. 0 ; 0 \left.\right)\)
• \(B \left(\right. 9 ; 0 \left.\right)\)
• \(C \left(\right. 0 ; 12 \left.\right)\)

👉 Tâm nội tiếp \(I\) của tam giác vuông:

\(I \left(\right. r ; r \left.\right) = \left(\right. 3 ; 3 \left.\right)\)

👉 Trọng tâm \(G\):

\(G \left(\right. \frac{0 + 9 + 0}{3} ; \frac{0 + 0 + 12}{3} \left.\right) = \left(\right. 3 ; 4 \left.\right)\)

Bước 4. Tính độ dài \(I G\)

\(I G = \sqrt{\left(\right. 3 - 3 \left.\right)^{2} + \left(\right. 4 - 3 \left.\right)^{2}} = \sqrt{1} = 1 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

Ta có tam giác \(\triangle A B C\) vuông tại A, với
\(A B = 6\) cm, \(A C = 8\) cm.

\(BC=\sqrt{A B^{2} + A C^{2}}=\sqrt{6^{2} + 8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=10\text{cm}\)

\(r = \frac{A B + A C - B C}{2}\)

\(r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \&\text{nbsp};\text{cm}\)