)  ����ABCD là hình bình hành.

b)  �,�,�P,N,Q thẳng hàng.

c) Δ���ΔABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ����ABCD là hình vuông.

a) Tứ giác ����DKMN có �^=�^=�^=90∘D=K=N=90∘ nên là hình chữ nhật.

b) Vì ����DKMN là hình chữ nhật nên ��DF // ��MH

Xét Δ���ΔKFM và Δ���ΔNME có:

     �^=�^=90∘K=N=90∘

     ��=��FM=ME ( giả thiết)

     ���^=�^KMF=E (đồng vị)

Vậy Δ���=Δ���ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra ��=��KF=MN (hai cạnh tương ứng) mà ��=��MN=DK nên ��=2��DF=2DK và ��=2��MH=2MN.

Do đó ��=��DF=MH.

Tứ giác ����DFMH có ��DF // ��,��=��MH,DF=MH nên là hìn...

a) Do ABCD là hình vuôn nên: 

\(A B = B C = C D = A D\) 

Mà: \(\left{\right. A B = A M + M B \\ B C = B N + N C \\ C D = C P + P D \\ A D = D Q + Q A\) 

Lại có: \(A M = B N = C P = D Q\)

\(\Rightarrow M B = N C = P D = Q A \left(\right. d p c m \left.\right)\) 

b) Xét \(\Delta Q A M\) và \(\Delta N C P\) có:

\(\hat{A} = \hat{C} = 9 0^{o} \left(\right. g t \left.\right)\)

\(A M = C P \left(\right. g t \left.\right)\)

\(Q A = N C \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \Delta Q A M = \Delta N C P \left(\right. c . g . c \left.\right)\) 

c) Xét các tam giác: \(\Delta Q A M , \Delta N C P , \Delta P D Q , \Delta M B N\) ta có:

\(\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = \hat{D} = 9 0^{o} \left(\right. g t \left.\right)\)

\(A M = B N = C P = D Q \left(\right. g t \left.\right)\)

\(M B = N C = P D = Q A \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \Delta Q A M = \Delta N C P = \Delta P D Q = \Delta M B N \left(\right. c . g . c \left.\right)\) 

\(\Rightarrow M Q = Q P = P N = N M\) (các cạnh tương ứng) 

\(\Rightarrow M N P Q\) là hình thoi (1)

Xét tam giác QAM ta có:

\(\hat{Q M A} + \hat{A Q M} = 18 0^{o} - 9 0^{o} = 9 0^{o}\) 

Mà: \(\Delta Q A M = \Delta M B N \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{B M N} = \hat{A Q M}\) (hai góc tương ứng) 

\(\Rightarrow \hat{B M N} + \hat{Q M A} = 9 0^{o}\)

Lại có: \(\hat{B M N} + \hat{Q M A} + \hat{N M Q} = 18 0^{o}\)

\(\Rightarrow \hat{N M Q} = 18 0^{o} - 9 0^{o} = 9 0^{o}\) (2) 

: Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm của AC

I là trung điểm của MK

Do đó: AMCK là hình bình hành

mà \(\hat{A M C} = 9 0^{0}\)

nên AMCK là hình chữ nhật

AC⊥Oy (gt); \(O x \bot O y\) (gt) => AC//Oy => AC//OB

C/m tương tự có AB//OC

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà \(\hat{x O y} = 9 0^{o}\)

=> OBAC là HCN

Ta có

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

=> OBAC là hình vuông

a) Do ABCD là hình vuôn nên: 

\(A B = B C = C D = A D\) 

Mà: \(\left{\right. A B = A M + M B \\ B C = B N + N C \\ C D = C P + P D \\ A D = D Q + Q A\) 

Lại có: \(A M = B N = C P = D Q\)

\(\Rightarrow M B = N C = P D = Q A \left(\right. d p c m \left.\right)\) 

b) Xét \(\Delta Q A M\) và \(\Delta N C P\) có:

\(\hat{A} = \hat{C} = 9 0^{o} \left(\right. g t \left.\right)\)

\(A M = C P \left(\right. g t \left.\right)\)

\(Q A = N C \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \Delta Q A M = \Delta N C P \left(\right. c . g . c \left.\right)\)