Xét trọng tâm G:

Vì BE và CF là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm của △ABC.

Ta có: BG=2/3BE và CG=2/3CF.

Mà BE=CF (gt) ⇒BG=CG.

Chứng minh △ABC cân:

Xét △BGC có BG=CG⇒△BGC cân tại G.

⇒ GBC= GCB .

Xét △EBC và △FCB có:BC là cạnh chung.

EBC= FCB(chứng minh trên).

BE=CF (gt).

⇒△EBC=△FCB (c.g.c).

⇒EC=FB (hai cạnh tương ứng).

Vì E,F lần lượt là trung điểm của AC,AB nên:

AC=2EC và AB=2FB.

⇒AB=AC⇒△ABC cân tại A.

Vậy

Trong △ABC cân tại A, đường trung tuyến AG đồng thời là đường cao.

Vậy AG⊥BC. (đpcm)

a)

Vì BE gấp hai lần ED ⇒ E chia BD theo tỉ lệ hai : một.

Tương tự, BF gấp hai lần BE suy ra F được xác định sao cho E là trung điểm theo tỉ lệ thích hợp.

Suy ra G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác EFC

Suy ra G là trọng tâm tam giác EFC.

b)

Vì G là trọng tâm suy ra

GE bằng hai phần ba EK suy ra tỉ số GE trên GK bằng hai.

Mặt khác, D là trung điểm AC suy ra

GC bằng hai phần ba DC suy ra tỉ số GC trên DC bằng hai.

Vậy

Tỉ số GE trên GK bằng hai và tỉ số GC trên DC bằng hai.

a)

Vì BG bằng hai lần GC nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

E là trung điểm BD.

Suy ra Ba điểm A, G, E thẳng hàng.

b)

C là trung điểm của AD.

G là trọng tâm nên nằm trên các đường trung tuyến.

Suy ra Đường thẳng DG đi qua trung điểm của AB.

a)

Vì tam giác ABC cân tại A suy ra AB = AC

Suy ra hai trung tuyến tương ứng BD = CE.

b)

G là trọng tâm suy ra nằm trên trục đối xứng của tam giác cân

Suy ra GB = GC

Suy ra tam giác GBC là tam giác cân.

c)

D, E là trung điểm suy ra DE = 1/2 BC

Xét tam giác DGE:

GD + GE > DE (bất đẳng thức tam giác)

suy ra GD + GE > 1/2 BC

a)

Vì tam giác ABC cân tại A suy ra AB = AC

Suy ra hai trung tuyến tương ứng BD = CE.

b)

G là trọng tâm suy ra nằm trên trục đối xứng của tam giác cân

Suy ra GB = GC

Suy ra tam giác GBC là tam giác cân.

c)

D, E là trung điểm suy ra DE = 1/2 BC

Xét tam giác DGE:

GD + GE > DE (bất đẳng thức tam giác)

suy ra GD + GE > 1/2 BC

Ta có tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) ⇒

\(A B = A C , \angle B = \angle C .\)

Gọi:

• \(B F\) là tia phân giác góc \(B\) (\(F \in A C\)),
• \(C E\) là tia phân giác góc \(C\) (\(E \in A B\)).

a) Chứng minh \(\angle A B F = \angle A C E\)

Vì \(B F\) là phân giác góc \(B\), nên:

\(\angle A B F = \frac{1}{2} \angle A B C .\)

Vì \(C E\) là phân giác góc \(C\), nên:

\(\angle A C E = \frac{1}{2} \angle A C B .\)

Mà tam giác cân tại \(A\) nên:

\(\angle A B C = \angle A C B .\)

Suy ra:

\(\angle A B F = \angle A C E .\)

b) Chứng minh tam giác \(A E F\) cân

Ta có:

• \(A B = A C\)
• \(\angle A B F = \angle A C E\) (câu a)

Xét hai tam giác \(A B F\) và \(A C E\):

• \(A B = A C\)
• \(\angle A B F = \angle A C E\)
• \(\angle A F B = \angle A E C\)
  (vì mỗi góc bằng \(90^{\circ} - \frac{1}{2} \angle B\))

⇒ Hai tam giác bằng nhau.

Suy ra:

\(A F = A E .\)

Vậy tam giác \(A E F\) cân tại \(A\).c) Gọi \(I = B F \cap C E\). Chứng minh \(\triangle I B C\) và \(\triangle I E F\) cân

1️⃣ Tam giác \(I B C\)

Vì tam giác \(A B C\) cân tại \(A\), nên hai phân giác \(B F\) và \(C E\) đối xứng nhau qua trục đối xứng của tam giác.

Giao điểm \(I\) của hai phân giác là tâm nội tiếp của tam giác.

Trong tam giác cân:

• Tâm nội tiếp nằm trên trục đối xứng.
• Do đó:

\(I B = I C .\)

Suy ra:

\(\triangle IBCcântạiI\)

2️⃣ Tam giác \(I E F\)

Vì \(A F = A E\) (câu b), nên \(A\) nằm trên trung trực của \(E F\).

Mặt khác \(I\) cũng nằm trên trục đối xứng của tam giác.

Suy ra:

\(I E = I F .\)

Vậy:

\(\triangle IEFcântạiI\)

Kết luận

<ABF=<ACE

tam giác AEF cân tại A

Tam giác IBC và tam IEF cân tại I

a) Ngày 5 trong tuần đầu tiên của tháng 02/2023 là hộ gia đình tiêu thụ lượng điện it nhất

b)Trong tuần đầu tiên của tháng 02/2023, hộ gia đình đó tiêu thụ hết 112 kW.h điện

Trung bình mỗi ngày tiêu thụ 16 kW.h điện

c) Trong 7 ngày đầu tiên của tháng 02/2023, ngày tiêu thụ điện nhiều nhất tăng 60  \(\%\) so với ngày tiêu thụ điện it nhất

Ta có:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\)
• \(A C = 550 \textrm{ } \text{m}\)
• Loa đặt tại một điểm \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\)
• Bán kính nghe rõ: \(R = 550 \textrm{ } \text{m}\)

Phân tích

Vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) nên:

\(A B \bot A C\)

Điểm \(M\) nằm trên đoạn \(A B\).

Xét khoảng cách từ \(M\) đến \(C\):

Trong tam giác vuông, khoảng cách từ một điểm trên cạnh góc vuông đến đỉnh còn lại luôn lớn hơn hoặc bằng cạnh góc vuông kia.

Cụ thể:

\(M C > A C\)

Mà:

\(A C = 550 \textrm{ } \text{m}\)

⇒

\(M C > 550 \textrm{ } \text{m}\)

Kết luận

Vì bán kính nghe rõ chỉ là \(550 \textrm{ } \text{m}\) nhưng:

\(M C > 550 \textrm{ } \text{m}\)

nên tại \(C\) không thể nghe rõ tiếng loa.

Ta có tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) ⇒

\(A B = A C , \hat{A} < 90^{\circ}\)

Kẻ:

• \(B D \bot A C\) tại \(D\)
• \(C E \bot A B\) tại \(E\)

a) Chứng minh \(A D = A E\)

Xét hai tam giác vuông \(A B D\) và \(A C E\):

• \(\angle A D B = 90^{\circ}\) (vì \(B D \bot A C\))
• \(\angle A E C = 90^{\circ}\) (vì \(C E \bot A B\))
• \(A B = A C\) (tam giác cân tại \(A\))
• \(\angle B A D = \angle C A E = \angle A\)

⇒ Hai tam giác vuông có:

• Cạnh huyền bằng nhau
• Góc nhọn kề cạnh huyền bằng nhau

Suy ra:

\(\triangle A B D = \triangle A C E\)

Do đó:

\(\boxed{A D = A E}\)

b) Chứng minh \(A I\) là tia phân giác của \(\angle B A C\)

Từ câu (a) ta có:

\(A D = A E\)

Xét hai tam giác \(A I D\) và \(A I E\):

• \(A D = A E\)
• \(\angle A D I = \angle A E I = 90^{\circ}\)
• \(A I\) chung

⇒ Hai tam giác bằng nhau.

Suy ra:

\(\angle B A I = \angle I A C\)

Vậy:

\(\boxed{AI}làtiaphângiácủa<BAC\)

c) Chứng minh \(D E \parallel B C\)

Ta đã có:

• \(A D = A E\)
• \(A I\) là phân giác góc \(A\)

Trong tam giác cân tại \(A\), phân giác đỉnh \(A\) đồng thời là trục đối xứng của tam giác.

Do đó:

• \(D\) và \(E\) đối xứng nhau qua \(A I\)
• \(B\) và \(C\) cũng đối xứng nhau qua \(A I\)

Suy ra đoạn \(D E\) song song với \(B C\).

\(\boxed{D E \parallel B C}\)

Ta cần tìm nghiệm của đa thức:

\(P \left(\right. x \left.\right) = 5 x + 3\)

Bước 1: Cho \(P \left(\right. x \left.\right) = 0\)

\(5 x + 3 = 0\)

Bước 2: Giải phương trình

\(5 x = - 3\) \(x = - \frac{3}{5}\)

Kết luận

Nghiệm của đa thức là:

\(\boxed{x = - \frac{3}{5}}\)