) Vì đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt trục tung tại điểm có tọa độ \(\left(\right. 0 ; - 5 \left.\right)\) nên ta có:

\(2 m + 3 = - 5\)

\(2 m = - 8\)

\(m = - 4\).

Vậy với \(m = - 4\) thì đường thẳng \(\left(\right. d \left.\right)\) cắt trục tung tại tọa độ \(\left(\right. 0 ; - 5 \left.\right)\).

b) Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left(\right. P \left.\right)\) là:

\(x^{2} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x + 2 m + 3\)

\(x^{2} - 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) x - 2 m - 3 = 0\) (*).

Ta có: \(\Delta^{'} = \left(\right. m - 1 \left.\right)^{2} + 2 m + 3 = m^{2} - 2 m + 1 + 2 m + 3 = m^{2} + 4\).

Vì \(m^{2} \geq 0\) với mọi \(m\) nên \(\Delta^{'} = m^{2} + 4 \geq 4 > 0\) với mọi \(m\).

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)

Suy ra đường thẳng \(d\) luôn cắt \(\left(\right. P \left.\right)\) tại hai điểm phân biệt với mọi \(m\).

Theo định lí Viète ta có: \(\left{\right. & x_{1} + x_{2} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \\ & x_{1} x_{2} = - 2 m - 3\)

hay \(\left{\right. & x_{A} + x_{B} = 2 \left(\right. m - 1 \left.\right) \\ & x_{A} x_{B} = - 2 m - 3\)

Mà \(x_{A}^{2} + x_{B}^{2} = 10\) nên

\(\left(\left(\right. x_{A} + x_{B} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{A} x_{B} = 10\)

\(4 \left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2} - 2 \left(\right. - 2 m - 3 \left.\right) = 10\)

\(4 m^{2} - 8 m + 4 + 4 m + 6 = 10\)

\(4 m^{2} - 4 m = 0\)

\(4 m \left(\right. m - 1 \left.\right) = 0\)

\(m = 0\); \(m = 1\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(m \in \left{\right. 0 ; 1 \left.\right}\).