a) Ta có: By // AC

Mà M thuộc By, Q thuộc AC

⇒ BM // AQ (1)

⇒ góc QAP bằng góc MBP ( so le trong )

Vì P là trung điểm AB ⇒ AP=BP

Xét tam giác APQ và tam giác BPM có :

AP = BP

góc BMQ bằng góc AQM

góc APQ bằng góc BPM ( đối đỉnh )

⇒Tam giác APQ bằng tam giác BPM

⇒ BM = AQ vì là 2 cạnh tương ứng (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác AMBQ là hình bình hành (3)

Mà vì Ax ⊥ AC tại A ⇒ Góc MAQ bằng 90 độ (4)

Từ (3) và (4) ⇒ Tứ giác AMBQ là hình chữ nhật (dhnb)

Vậy tứ giác AMBQ là hình chữ nhật

b) Vì AMBQ là hình chữ nhật nên AB cắt QM tại trung điểm mỗi đường

Mà P là trung điểm AB

⇒ P là trung điểm QM

⇒ QP = QM :2

Mà AB = QM (t/c của hình chữ nhật)

⇒ QP = AB : 2 (1)

Vì AI là đường cao của tam giác ABC nên AI ⊥ BC tại I

⇒ góc AIB bằng 90 độ

⇒ Tam giác AIB vuông tại I

Mà P là trung điểm AB

⇒ IP là đường trung tuyến của tam giác ABC

⇒ IP = AB : 2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ QP = IP

⇒ Tam giác PIQ cân tại P

Vậy tam giác PIQ cân tại P

Xét tam giác ABC có M là trung điểm AC nên BM là đường trung tuyến của tam giác ABC

Mà BM bằng AC : 2

Suy ra tam giác ABC vuông tại B nên góc ABC bằng 90 độ (1)

Ta có: góc A bằng góc D bằng 90 độ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình chữ nhật

Ta có: I là trung điểm AC

Vì IH=ID và I,H,D thẳng hàng nên I cũng là trung điểm của HD

Nên tứ giác AHCD là hình bình hành (1)

Mà AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC tại H suy ra góc AHC bằng 90 độ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AHCD là hình chữ nhật