a. Cơ năng của vật dao động điều hòa là: 

\(W = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} = \frac{1}{2} . 2. 5^{2} . 0 , 0 8^{2} = 0 , 16\) J

Khi vật có li độ \(x = 4\) cm hay \(x = \frac{A}{2}\) thì thế năng của vật là:

\(W_{t} = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} . \left(\left(\right. \frac{A}{2} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{4} W = \frac{1}{4} . 0 , 16 = 0 , 04\) J

Động năng của vật là:

\(W_{đ} = W - W_{t} = 0 , 16 - 0 , 04 = 0 , 12\) J

b. Thế năng bằng động năng nên ta có:

\(W_{t} = \frac{W}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}\)

\(\Rightarrow x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} .\)

a. Cơ năng của vật dao động điều hòa là: 

\(W = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} = \frac{1}{2} . 2. 5^{2} . 0 , 0 8^{2} = 0 , 16\) J

Khi vật có li độ \(x = 4\) cm hay \(x = \frac{A}{2}\) thì thế năng của vật là:

\(W_{t} = \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} . \left(\left(\right. \frac{A}{2} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{4} W = \frac{1}{4} . 0 , 16 = 0 , 04\) J

Động năng của vật là:

\(W_{đ} = W - W_{t} = 0 , 16 - 0 , 04 = 0 , 12\) J

b. Thế năng bằng động năng nên ta có:

\(W_{t} = \frac{W}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}\)

\(\Rightarrow x = \pm \frac{A}{\sqrt{2}} .\)

Từ phương trình \(x = 5 sin ⁡ \left(\right. 2 \pi t + \frac{\pi}{6} \left.\right)\) (cm) 

\(\Rightarrow A = 5\) cm; \(\omega = 2 \pi\) rad/s

Ta có: \(\text{v} = x^{'} = \omega A cos ⁡ \left(\right. \omega t + \varphi \left.\right) = 2 \pi . 5. cos ⁡ \left(\right. 2 \pi t + \frac{\pi}{6} \left.\right) = 10 \pi cos ⁡ \left(\right. 2 \pi t + \frac{\pi}{6} \left.\right)\) cm/s

a. Ở thời điểm \(t = 5\) s

Ta có: \(x = 5 sin ⁡ \left(\right. 2 \pi . 5 + \frac{\pi}{6} \left.\right) = 2 , 5\) cm

\(\text{v} = 10 \pi cos ⁡ \left(\right. 2 \pi . 5 + \frac{\pi}{6} \left.\right) = 5 \sqrt{30}\) cm/s

\(a = - \omega^{2} x = - \left(\left(\right. 2 \pi \left.\right)\right)^{2} . 2 , 5 = - 100\) cm/s²

b. Khi pha dao động là 120^o.

\(x = 5 sin ⁡ 12 0^{o} = 2 , 5 \sqrt{3}\) cm

\(v = 10 \pi cos ⁡ 12 0^{o} = - 5 \pi\) cm/s

\(a = - \omega^{2} x = - 4 \pi^{2} . 2 , 5 \sqrt{3} = - \sqrt{3}\) cm/s²

L=12cm⇒A=2L​=6cm

Chu kì dao động: \(T = \frac{62 , 8}{20} = 3 , 14 s \approx \pi \left(\right. s \left.\right) \Rightarrow \omega = \frac{2 \pi}{T} = 2\)

Áp dụng pt độc lập: \(x^{2} + \frac{v^{2}}{\omega^{2}} = A^{2}\)

\(\Rightarrow \left(\left(\right. - 2 \left.\right)\right)^{2} + \frac{v^{2}}{2^{2}} = 6^{2} \Rightarrow v = \pm 8 \sqrt{2} \left(\right. c m / s \left.\right) = \pm 0 , 08 \sqrt{2} \left(\right. m / s \left.\right)\)

Mà vật đang chuyển động the chiều dương: \(v = 0 , 08 \sqrt{2} \left(\right. m / s \left.\right)\)

Gia tốc vật: 

\(a = - \omega^{2} x = - 2^{2} \cdot \left(\right. - 2 \left.\right) = 8 c m / s^{2}\)

Ta có: T = 4(s)
\(\omega=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\left(\frac{rad}{s}\right)\)
6s=1,5T
Trong 1 chu kì T, quãng đường là S1=4A
Trong 1,5 chu kì T, quãng đường 48(cm)= 6A \(\lrArr\) A=8(cm)
Khi t = 0 vật đi qua vị trí cân bằng và hướng về biên âm:
\(x=A\cos\left(\omega t+\phi\right)\) \(\lrArr0=8\cos\left(\phi\right)\)
\(\phi=\pm2\pi\)
Tại \(t = 0\): \(v_{0} = - A \omega sin ⁡ \varphi < 0\)
\(\Rightarrow - A \omega sin ⁡ \varphi < 0\)
\(\Rightarrow sin ⁡ \varphi > 0\) (vì \(A \omega > 0\)).

Vậy \(\varphi = + \frac{\pi}{2}\).
Phương trình dao động của vật là : x=8cos(2π​t+2π​) (cm).