Mục Đích Của Việc Dùng Ba Hình Chiếu Vuông Góc

Trong thực tế, các vật thể chúng ta thấy đều là vật thể ba chiều (3D), có chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Tuy nhiên, bản vẽ kỹ thuật lại được thể hiện trên giấy, là một mặt phẳng hai chiều (2D).

Mục đích chính của việc dùng ba hình chiếu vuông góc là để biểu diễn một cách đầy đủ, chính xác và rõ ràng hình dạng của vật thể ba chiều trên một mặt phẳng hai chiều của bản vẽ.

Nhờ có ba hình chiếu, người đọc bản vẽ (như kỹ sư, công nhân) có thể hình dung được toàn bộ hình dạng bên ngoài và cấu trúc bên trong của vật thể để tiến hành chế tạo, lắp ráp hoặc kiểm tra một cách chính xác.

Đặc Điểm và Hướng Nhìn Của Từng Hình Chiếu

Để có được ba hình chiếu, chúng ta sẽ chiếu vật thể theo ba hướng vuông góc với ba mặt phẳng chiếu tương ứng.

1. Hình Chiếu Đứng

• Đặc điểm biểu diễn: Hình chiếu đứng là hình chiếu quan trọng nhất, thường thể hiện được đặc trưng hình dạng chính của vật thể. Nó cho chúng ta biết chiều cao và chiều dài của vật thể.
• Hướng nhìn (Hướng chiếu): Có hướng chiếu từ trước tới.
• • Tưởng tượng rằng: Bạn đang đứng ngay trước vật thể và nhìn thẳng vào nó. Hình ảnh bạn thấy chính là hình chiếu đứng.

2. Hình Chiếu Bằng

• Đặc điểm biểu diễn: Hình chiếu bằng thể hiện hình dạng của vật thể khi nhìn từ trên xuống. Nó cho chúng ta biết chiều dài và chiều rộng của vật thể.
• Hướng nhìn (Hướng chiếu): Có hướng chiếu từ trên xuống.
• • Tưởng tượng rằng: Bạn đang ở phía trên vật thể và nhìn thẳng vuông góc xuống. Hình ảnh bạn thấy chính là hình chiếu bằng.

3. Hình Chiếu Cạnh

• Đặc điểm biểu diễn: Hình chiếu cạnh thể hiện hình dạng của vật thể khi nhìn từ bên cạnh. Nó cho chúng ta biết chiều cao và chiều rộng của vật thể.
• Hướng nhìn (Hướng chiếu): Có hướng chiếu từ trái sang.
• • Tưởng tượng rằng: Bạn đang đứng ở phía bên trái vật thể và nhìn thẳng vào. Hình ảnh bạn thấy chính là hình chiếu cạnh.

Tóm Tắt Mối Quan Hệ Giữa Các Hình Chiếu

Vị trí trên bản vẽ: Theo tiêu chuẩn, các hình chiếu được sắp xếp như sau:

• Hình chiếu bằng được đặt ngay bên dưới hình chiếu đứng.
• Hình chiếu cạnh được đặt ngay bên phải hình chiếu đứng.

Mối liên hệ về kích thước giữa các hình chiếu giúp người đọc dễ dàng đối chiếu và hiểu rõ bản vẽ.

PHƯƠNG ÁN THÍ NGHIỆM CHỨNG MINH ÁP SUẤT CHẤT LỎNG TĂNG KHI ĐỘ SÂU TĂNG

1. Mục tiêu thí nghiệm:

• Quan sát và chứng minh được sự tồn tại của áp suất chất lỏng.
• Chứng minh được mối quan hệ phụ thuộc của áp suất chất lỏng vào độ sâu: độ sâu càng tăng thì áp suất chất lỏng càng lớn.

2. Chuẩn bị dụng cụ:

• Một chai nhựa trong suốt (loại 1,5 lít hoặc 2 lít) có thành phẳng để dễ quan sát.
• Một chiếc đinh hoặc dụng cụ có đầu nhọn để đục lỗ.
• Băng dính không thấm nước.
• Nước (có thể pha thêm một ít màu thực phẩm để dễ quan sát tia nước hơn).
• Một cái chậu hoặc khay lớn để hứng nước.
• Thước đo có chia vạch đến milimet.

3. Các bước tiến hành thí nghiệm:

Bước 1: Chuẩn bị chai nhựa

• Dùng đinh nhọn, cẩn thận đục 3 lỗ nhỏ có đường kính bằng nhau trên thành chai nhựa.
• Các lỗ này được đục thẳng hàng theo chiều dọc của chai. Vị trí các lỗ như sau:
• • Lỗ 1: Cách đáy chai một khoảng ngắn (ví dụ: 5 cm).
  • Lỗ 2: Ở vị trí giữa chai, cách lỗ 1 một khoảng (ví dụ: 10 cm).
  • Lỗ 3: Gần miệng chai, cách lỗ 2 một khoảng (ví dụ: 10 cm).
• Sau khi đục xong, dùng băng dính không thấm nước bịt kín cả 3 lỗ lại.

Bước 2: Tiến hành thí nghiệm

• Đặt chai nhựa vào trong chậu hoặc khay lớn để tránh nước bắn ra ngoài.
• Đổ đầy nước (đã pha màu) vào chai.
• Bóc đồng thời cả 3 miếng băng dính đang bịt các lỗ ra.
• Quan sát hiện tượng các tia nước phun ra từ 3 lỗ.

4. Quan sát hiện tượng và giải thích:

a. Hiện tượng quan sát được:

• Ngay sau khi bóc băng dính, nước sẽ phun ra từ cả 3 lỗ. Điều này chứng tỏ chất lỏng gây ra áp suất lên thành bình.
• Tia nước phun ra từ lỗ 1 (lỗ ở dưới cùng, gần đáy nhất) sẽ phun ra xa nhất.
• Tia nước phun ra từ lỗ 2 (lỗ ở giữa) phun ra ở khoảng cách ngắn hơn lỗ 1.
• Tia nước phun ra từ lỗ 3 (lỗ ở trên cùng) phun ra gần nhất.

b. Giải thích chi tiết:

• Lý luận: Chúng ta đã học công thức tính áp suất chất lỏng là: p = d x h
• • Trong đó:
  • • p là áp suất chất lỏng.
    • d là trọng lượng riêng của chất lỏng (trong thí nghiệm này là nước, có giá trị không đổi).
    • h là độ sâu (chiều cao) của cột chất lỏng, tính từ mặt thoáng của chất lỏng đến điểm tính áp suất.
• Áp dụng vào thí nghiệm:
• • Điểm A tại lỗ 3 là điểm có độ sâu h3 (khoảng cách từ mặt nước đến lỗ 3) là nhỏ nhất.
  • Điểm B tại lỗ 2 là điểm có độ sâu h2 (khoảng cách từ mặt nước đến lỗ 2) lớn hơn h3.
  • Điểm C tại lỗ 1 là điểm có độ sâu h1 (khoảng cách từ mặt nước đến lỗ 1) là lớn nhất.
  • Như vậy, ta có: h1 > h2 > h3.
• Suy luận và biến đổi:
• • Vì trọng lượng riêng của nước (d) là không đổi, theo công thức p = d x h, áp suất (p) sẽ tỉ lệ thuận với độ sâu (h).
  • Do h1 > h2 > h3, nên áp suất tại các điểm tương ứng sẽ là: p1 > p2 > p3.
  • Áp suất chất lỏng càng lớn thì lực tác dụng lên thành bình càng mạnh, làm cho tia nước phun ra càng xa và mạnh.
  • Thực tế quan sát được tia nước ở lỗ 1 (sâu nhất) phun ra xa nhất, tia nước ở lỗ 3 (nông nhất) phun ra gần nhất, hoàn toàn phù hợp với lý luận trên.

5. Kết luận:

Qua thí nghiệm, ta thấy rằng ở những vị trí có độ sâu lớn hơn, tia nước phun ra mạnh hơn và xa hơn. Điều này chứng tỏ áp suất chất lỏng tác dụng lên thành bình ở những vị trí đó lớn hơn.

Vậy, thí nghiệm đã chứng minh được rằng: Trong cùng một chất lỏng, áp suất chất lỏng tăng lên khi độ sâu tăng.

Phân tích bài toán

• Cho: Chúng ta có n số là x1, x2, ..., xn.
• Điều kiện 1: Mỗi số trong n số này chỉ có thể là 1 hoặc -1.
• Điều kiện 2: Tổng S = x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0.
• Yêu cầu: Chứng minh rằng n phải là một số chia hết cho 4.

Bài giải chi tiết

Chúng ta sẽ đi từng bước lập luận để đi đến kết luận cuối cùng.

Bước 1: Tìm hiểu về các số hạng trong tổng S

Mỗi số hạng trong tổng S có dạng xi.x(i+1) (số hạng cuối cùng là xn.x1).
Vì mỗi số x chỉ có thể là 1 hoặc -1, nên tích của hai số liền kề sẽ là:

• Nếu hai số giống nhau: 1 . 1 = 1 hoặc (-1) . (-1) = 1. Tích bằng 1.
• Nếu hai số khác nhau: 1 . (-1) = -1. Tích bằng -1.

Như vậy, mỗi số hạng trong tổng S chỉ có thể nhận giá trị là 1 hoặc -1.

Bước 2: Sử dụng giả thiết S = 0

Tổng S có n số hạng, và mỗi số hạng là 1 hoặc -1.
Để tổng S bằng 0, thì số lượng các số hạng bằng 1 phải bằng với số lượng các số hạng bằng -1.

• Gọi k là số lượng các số hạng có giá trị 1.
• Gọi m là số lượng các số hạng có giá trị -1.

Vì tổng bằng 0, nên ta có: k * 1 + m * (-1) = 0 hay k - m = 0.
=> k = m.

Tổng số các số hạng trong S là n. Vậy ta có: n = k + m.
Vì k = m, ta thay vào biểu thức trên: n = m + m = 2m.

Kết luận 1: Từ đây, ta thấy n là một số chẵn (vì n là tích của 2 với một số tự nhiên).

Bước 3: Xét tích của tất cả các số hạng trong S

Đây là bước quan trọng nhất để chứng minh n chia hết cho 4.
Hãy cùng xét tích P của n số hạng trong S:
P = (x1.x2) . (x2.x3) . ... . (xn.x1)

Chúng ta có thể sắp xếp lại các thừa số trong P:
P = (x1 . x1) . (x2 . x2) . ... . (xn . xn)
P = (x1)² . (x2)² . ... . (xn)²

Vì mỗi số x chỉ là 1 hoặc -1, nên bình phương của nó luôn bằng 1:

• (1)² = 1
• (-1)² = 1

Do đó, P = 1 . 1 . ... . 1 = 1.

Kết luận 2: Tích của tất cả n số hạng trong S luôn bằng 1.

Bước 4: Liên kết Bước 2 và Bước 3

Ta đã biết:

• Tích P được tạo thành từ k số 1 và m số -1.
• Tích P có giá trị bằng 1.

Tích của một dãy các số 1 và -1 chỉ bằng 1 khi và chỉ khi số lượng các số -1 trong dãy đó là một số chẵn.
Ví dụ: (-1) . (-1) = 1 (2 số -1, là số chẵn).
(-1) . (-1) . (-1) . (-1) = 1 (4 số -1, là số chẵn).
Nếu số lượng số -1 là lẻ, tích sẽ bằng -1. Ví dụ: (-1) . (-1) . (-1) = -1.

Từ đây, ta suy ra m (số lượng các số hạng bằng -1) phải là một số chẵn.

Bước 5: Tổng hợp và kết luận cuối cùng

Từ các bước trên, chúng ta có 2 điều quan trọng:

1. n = 2m (từ Bước 2)
2. m là một số chẵn (từ Bước 4)

Vì m là một số chẵn, chúng ta có thể viết m dưới dạng m = 2p (với p là một số tự nhiên nào đó).

Bây giờ, ta thay m = 2p vào biểu thức n = 2m:
n = 2 * (2p)
n = 4p

Biểu thức n = 4p chứng tỏ rằng n là một bội của 4, hay nói cách khác, n chia hết cho 4.

Đây chính là điều phải chứng minh.

Lời khuyên

• Với dạng toán chứng minh này, chìa khóa là phân tích từng giả thiết của bài toán và tìm cách liên kết chúng lại với nhau.
• Việc "xét tích của các số hạng" là một phương pháp rất hay và độc đáo, thường được sử dụng trong các bài toán liên quan đến các số 1 và -1. Bạn ghi nhớ phương pháp này nhé.
• Hãy luôn chia bài toán lớn thành các bước lập luận nhỏ, rõ ràng. Mỗi bước rút ra một kết luận nhỏ, rồi dùng các kết luận nhỏ đó để đi đến kết luận cuối cùng.

Hiện tượng quan sát được

Khi bạn nhỏ từ từ dung dịch HCl vào dung dịch NaOH có sẵn phenolphtalein, bạn sẽ quan sát thấy:

• Màu hồng của dung dịch nhạt dần.
• Cuối cùng, dung dịch mất màu hoàn toàn, trở nên trong suốt.

Nếu tiếp tục nhỏ thêm dung dịch HCl vào, dung dịch vẫn sẽ không có màu.

Giải thích hiện tượng

Hiện tượng trên xảy ra do một phản ứng hóa học gọi là phản ứng trung hòa. Chúng ta sẽ phân tích từng bước để hiểu rõ hơn:

Bước 1: Chuẩn bị dung dịch NaOH có nhỏ phenolphtalein

• Natri hiđroxit (NaOH) là một bazơ (kiềm) mạnh. Khi tan trong nước, nó tạo ra một môi trường bazơ.
• Phenolphtalein là một chất chỉ thị màu. Đặc điểm của nó là:
• • Không màu trong môi trường axit và môi trường trung tính.
  • Chuyển sang màu hồng trong môi trường bazơ (khi pH lớn hơn khoảng 8.2).
• Vì vậy, khi nhỏ phenolphtalein vào dung dịch NaOH, dung dịch sẽ có màu hồng đặc trưng.

Bước 2: Nhỏ từ từ dung dịch HCl vào

• Axit clohiđric (HCl) là một axit mạnh.
• Khi nhỏ HCl vào dung dịch NaOH, phản ứng hóa học xảy ra giữa axit và bazơ. Phản ứng này được gọi là phản ứng trung hòa.
• Phương trình hóa học của phản ứng:
  NaOH + HCl → NaCl + H₂O
• • Giải thích phương trình: Một phân tử natri hiđroxit (bazơ) phản ứng với một phân tử axit clohiđric (axit) để tạo ra một phân tử natri clorua (muối ăn) và một phân tử nước.
• Quá trình biến đổi:
• 1. Khi bạn bắt đầu nhỏ HCl vào, lượng bazơ NaOH trong dung dịch sẽ phản ứng dần với axit HCl.
  2. Khi NaOH phản ứng hết, lượng bazơ trong dung dịch giảm xuống, làm cho tính bazơ của dung dịch yếu đi. Điều này dẫn đến việc màu hồng của phenolphtalein cũng nhạt dần.
  3. Khi toàn bộ lượng NaOH đã phản ứng hết với HCl, dung dịch không còn tính bazơ nữa, trở thành môi trường trung tính (chỉ còn muối NaCl và nước). Tại thời điểm này, phenolphtalein sẽ chuyển về dạng không màu, làm cho dung dịch trở nên trong suốt.
  4. Nếu bạn tiếp tục nhỏ thêm HCl, dung dịch sẽ dư axit, chuyển sang môi trường axit. Tuy nhiên, trong môi trường axit, phenolphtalein vẫn không màu, nên bạn sẽ không thấy sự thay đổi màu sắc nào nữa.

Kết luận

Hiện tượng dung dịch mất màu hồng là dấu hiệu cho thấy phản ứng trung hòa giữa NaOH và HCl đã xảy ra hoàn toàn, môi trường của dung dịch đã thay đổi từ bazơ sang trung tính.

Đề bài câu d):

√(2x + 5) - √(3 - x) = x² - 5x + 8

Phân tích và Lập luận

1. Dạng phương trình: Đây là phương trình vô tỉ chứa hai căn thức khác nhau ở một vế và một biểu thức bậc hai ở vế còn lại.
2. Hướng tiếp cận:
3. • Bình phương trực tiếp: Nếu ta chuyển vế và bình phương, vế phải sẽ trở thành đa thức bậc 4 (x² - 5x + 8 + √(3 - x))², rất phức tạp và không phải là cách giải tối ưu cho học sinh lớp 9.
   • Đặt ẩn phụ: Đặt a = √(2x + 5) và b = √(3 - x). Ta có a - b = x² - 5x + 8. Tuy nhiên, việc biểu diễn vế phải qua a và b không làm phương trình đơn giản đi.
   • Nhân liên hợp và đánh giá: Đây là phương pháp khả thi nhất. Tương tự câu c), ta sẽ thử nhẩm một nghiệm nguyên đơn giản. Nếu tìm được, ta sẽ dùng phép nhân liên hợp để tạo ra nhân tử chung, sau đó chứng minh phần còn lại của phương trình vô nghiệm bằng cách đánh giá hai vế.

Bài giải chi tiết

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Để các căn thức có nghĩa, các biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

• 2x + 5 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -5 ⇔ x ≥ -5/2
• 3 - x ≥ 0 ⇔ x ≤ 3

Kết hợp hai điều kiện, ta có ĐKXĐ của phương trình là: -5/2 ≤ x ≤ 3.

Bước 2: Nhẩm nghiệm

Ta sẽ thử một vài giá trị nguyên của x trong khoảng [-2.5, 3], ví dụ: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

• Thử với x = 2:
• • Vế trái (VT): √(2*2 + 5) - √(3 - 2) = √9 - √1 = 3 - 1 = 2.
  • Vế phải (VP): 2² - 5*2 + 8 = 4 - 10 + 8 = 2.
  • Ta thấy VT = VP. Vậy x = 2 là một nghiệm của phương trình.

Bước 3: Biến đổi phương trình để nhân liên hợp

Khi x = 2, ta có √(2x + 5) = 3 và √(3 - x) = 1. Ta sẽ dùng các giá trị này để thêm bớt vào phương trình, tạo ra các biểu thức mà khi nhân liên hợp sẽ có nhân tử (x - 2).

Phương trình ban đầu: √(2x + 5) - √(3 - x) = x² - 5x + 8
Ta biến đổi như sau:
(√(2x + 5) - 3) - (√(3 - x) - 1) = x² - 5x + 8 - 3 + 1
(√(2x + 5) - 3) - (√(3 - x) - 1) = x² - 5x + 6

Bây giờ, ta sẽ nhân liên hợp cho từng biểu thức ở vế trái:

• √(2x + 5) - 3 = [(√(2x + 5) - 3)(√(2x + 5) + 3)] / [√(2x + 5) + 3]
  = (2x + 5 - 9) / (√(2x + 5) + 3)
  = (2x - 4) / (√(2x + 5) + 3)
  = 2(x - 2) / (√(2x + 5) + 3)
• √(3 - x) - 1 = [(√(3 - x) - 1)(√(3 - x) + 1)] / [√(3 - x) + 1]
  = (3 - x - 1) / (√(3 - x) + 1)
  = (2 - x) / (√(3 - x) + 1)
  = -(x - 2) / (√(3 - x) + 1)

Vế phải: x² - 5x + 6 = x² - 2x - 3x + 6 = x(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)(x - 3).

Bước 4: Thay thế và đặt nhân tử chung

Thay các biểu thức đã biến đổi vào phương trình:
[2(x - 2) / (√(2x + 5) + 3)] - [-(x - 2) / (√(3 - x) + 1)] = (x - 2)(x - 3)
[2(x - 2) / (√(2x + 5) + 3)] + [(x - 2) / (√(3 - x) + 1)] = (x - 2)(x - 3)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và đặt nhân tử chung (x - 2):
(x - 2) * [ 2/(√(2x + 5) + 3) + 1/(√(3 - x) + 1) - (x - 3) ] = 0

Bước 5: Giải phương trình tích

Phương trình có dạng A * B = 0, ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: x - 2 = 0
  ⇔ x = 2.
  Giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ -5/2 ≤ x ≤ 3, nên x = 2 là một nghiệm.
• Trường hợp 2: 2/(√(2x + 5) + 3) + 1/(√(3 - x) + 1) - (x - 3) = 0
  ⇔ 2/(√(2x + 5) + 3) + 1/(√(3 - x) + 1) = x - 3
  Ta sẽ dùng phương pháp đánh giá để chứng minh phương trình này vô nghiệm.
  Xét Vế trái (VT):
  Xét Vế phải (VP): x - 3
  Vậy, ta có VT > 0 và VP ≤ 0. Một số dương không thể bằng một số không dương. Do đó, phương trình ở trường hợp 2 không thể xảy ra.
  Trường hợp 2 vô nghiệm.
• • Với ĐKXĐ, ta có √(2x + 5) ≥ 0 ⇒ √(2x + 5) + 3 ≥ 3.
  • Suy ra 0 < 2/(√(2x + 5) + 3) ≤ 2/3.
  • Tương tự, √(3 - x) ≥ 0 ⇒ √(3 - x) + 1 ≥ 1.
  • Suy ra 0 < 1/(√(3 - x) + 1) ≤ 1.
  • Cộng hai vế, ta có VT > 0 + 0 = 0. Vậy vế trái luôn là một số dương.
• • Theo ĐKXĐ, ta có x ≤ 3 ⇒ x - 3 ≤ 0.

Bước 6: Kết luận

Kết hợp cả hai trường hợp, phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất là x = 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

Đề bài câu c):

x² + 3x + √(7 - 3x) = √(x² + 3) + 4

Phân tích và Lập luận

Đây là một phương trình vô tỉ khá phức tạp. Thoạt nhìn, ta không thấy có dạng quen thuộc để đặt ẩn phụ ngay lập tức. Tuy nhiên, với những dạng bài này, một phương pháp rất hiệu quả là thử "nhẩm nghiệm", tức là thử một vài giá trị x nguyên đơn giản (như -1, 0, 1, 2,...) xem có giá trị nào làm cho hai vế của phương trình bằng nhau không.

Nếu ta tìm được một nghiệm, ví dụ x = x₀, ta có thể sử dụng phương pháp nhân liên hợp để biến đổi phương trình, làm xuất hiện nhân tử chung (x - x₀).

• Thử nhẩm nghiệm:
  Let's try x = 1:
• • Vế trái (VT): 1² + 3(1) + √(7 - 3*1) = 1 + 3 + √4 = 4 + 2 = 6.
  • Vế phải (VP): √(1² + 3) + 4 = √4 + 4 = 2 + 4 = 6.
  • Ta thấy VT = VP. Vậy x = 1 là một nghiệm của phương trình.

Khi đã biết x = 1 là nghiệm, ta sẽ biến đổi phương trình để làm xuất hiện nhân tử (x - 1).

Bài giải chi tiết

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Phương trình có chứa hai căn thức, ta cần đặt điều kiện cho cả hai:

1. 7 - 3x ≥ 0 ⇔ 7 ≥ 3x ⇔ x ≤ 7/3
2. x² + 3 ≥ 0. Điều này luôn đúng với mọi x vì x² ≥ 0 nên x² + 3 ≥ 3 > 0.

Kết hợp lại, điều kiện xác định của phương trình là x ≤ 7/3.

Bước 2: Biến đổi phương trình

Ta sẽ chuyển các hạng tử để nhóm các biểu thức liên quan lại với nhau. Cụ thể, ta chuyển 4 từ vế phải sang vế trái để nhóm với x² + 3x.

• x² + 3x - 4 + √(7 - 3x) - √(x² + 3) = 0

Bây giờ, ta sẽ sử dụng kỹ thuật nhân liên hợp. Ta nhận thấy khi x=1, thì √(7-3*1) = √4 = 2 và √(1²+3) = √4 = 2. Ta sẽ thêm bớt 2 vào các biểu thức căn:

• (x² + 3x - 4) + (√(7 - 3x) - 2) - (√(x² + 3) - 2) = 0

Bước 3: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp để tạo nhân tử chung

Ta xử lý từng nhóm hạng tử:

• Nhóm 1: x² + 3x - 4
  Đây là một tam thức bậc hai. Ta có thể phân tích thành nhân tử: x² + 4x - x - 4 = x(x+4) - (x+4) = (x - 1)(x + 4).
• Nhóm 2: √(7 - 3x) - 2
  Ta nhân và chia cho biểu thức liên hợp là √(7 - 3x) + 2:
  = [(√(7 - 3x) - 2)(√(7 - 3x) + 2)] / [√(7 - 3x) + 2]
  = (7 - 3x - 4) / (√(7 - 3x) + 2)
  = (3 - 3x) / (√(7 - 3x) + 2)
  = -3(x - 1) / (√(7 - 3x) + 2)
• Nhóm 3: -(√(x² + 3) - 2)
  Tương tự, ta nhân và chia (√(x² + 3) - 2) cho biểu thức liên hợp (√(x² + 3) + 2):
  = -[(√(x² + 3) - 2)(√(x² + 3) + 2)] / [√(x² + 3) + 2]
  = -[ (x² + 3 - 4) ] / (√(x² + 3) + 2)
  = -(x² - 1) / (√(x² + 3) + 2)
  = -(x - 1)(x + 1) / (√(x² + 3) + 2)

Bước 4: Thay thế và đặt nhân tử chung

Bây giờ, ta thay các biểu thức đã phân tích vào phương trình ở Bước 2:
(x - 1)(x + 4) - [3(x - 1) / (√(7 - 3x) + 2)] - [(x - 1)(x + 1) / (√(x² + 3) + 2)] = 0

Ta thấy nhân tử chung là (x - 1). Ta đặt nó ra ngoài:
(x - 1) * [ (x + 4) - 3/(√(7 - 3x) + 2) - (x + 1)/(√(x² + 3) + 2) ] = 0

Bước 5: Giải phương trình tích

Phương trình có dạng A * B = 0, vậy ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: x - 1 = 0
  ⇔ x = 1
  Giá trị này thỏa mãn ĐKXĐ x ≤ 7/3, nên x = 1 là một nghiệm.
• Trường hợp 2: (x + 4) - 3/(√(7 - 3x) + 2) - (x + 1)/(√(x² + 3) + 2) = 0
  Lưu ý: Phần chứng minh này ở mức độ nâng cao, nhưng ý tưởng chính là chứng minh phương trình này vô nghiệm.
  Ta sẽ đánh giá biểu thức trong ngoặc.
  Với ĐKXĐ x ≤ 7/3, ta có:
  Hãy xét một phương trình khác dễ hơn, quay lại Bước 2 và biến đổi theo cách khác:
  x² + 3x - 4 = √(x² + 3) - √(7 - 3x)
  Ta nhân liên hợp cho vế phải:
  √(x² + 3) - √(7 - 3x) = [(x² + 3) - (7 - 3x)] / [√(x² + 3) + √(7 - 3x)] = (x² + 3x - 4) / (√(x² + 3) + √(7 - 3x))
  Phương trình trở thành:
  (x² + 3x - 4) = (x² + 3x - 4) / (√(x² + 3) + √(7 - 3x))
  ⇔ (x² + 3x - 4) - (x² + 3x - 4) / (√(x² + 3) + √(7 - 3x)) = 0
  ⇔ (x² + 3x - 4) * [ 1 - 1 / (√(x² + 3) + √(7 - 3x)) ] = 0
  Ta cũng có hai trường hợp:
• • √(7 - 3x) ≥ 0 ⇒ √(7 - 3x) + 2 ≥ 2 ⇒ 0 < 3/(√(7 - 3x) + 2) ≤ 3/2
  • x² ≥ 0 ⇒ x² + 3 ≥ 3 ⇒ √(x² + 3) ≥ √3 ⇒ √(x² + 3) + 2 ≥ √3 + 2
• • Trường hợp 1: x² + 3x - 4 = 0
    Đây là phương trình bậc hai có a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0, nên có hai nghiệm là:
  • • x₁ = 1 (Thỏa mãn ĐKXĐ)
    • x₂ = c/a = -4 (Thỏa mãn ĐKXĐ x ≤ 7/3)
  • Trường hợp 2: 1 - 1 / (√(x² + 3) + √(7 - 3x)) = 0
    ⇔ √(x² + 3) + √(7 - 3x) = 1
    Ta tiến hành đánh giá vế trái:
  • • Với mọi x, ta có x² ≥ 0 ⇒ x² + 3 ≥ 3 ⇒ √(x² + 3) ≥ √3.
    • Theo ĐKXĐ, 7 - 3x ≥ 0 ⇒ √(7 - 3x) ≥ 0.
      Cộng hai vế của hai bất đẳng thức trên, ta được:
      √(x² + 3) + √(7 - 3x) ≥ √3 + 0 = √3.
      Vì √3 ≈ 1.732, nên √3 > 1.
      Do đó, vế trái luôn luôn lớn hơn 1. Phương trình √(x² + 3) + √(7 - 3x) = 1 không thể xảy ra.
      Vậy trường hợp 2 vô nghiệm.

Bước 6: Kết luận

Kết hợp cả hai trường hợp, phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = -4.

Thử lại nghiệm

• Với x = 1, ta đã thử ở trên và thấy đúng.
• Với x = -4:
• • VT: (-4)² + 3(-4) + √(7 - 3(-4)) = 16 - 12 + √(7 + 12) = 4 + √19.
  • VP: √((-4)² + 3) + 4 = √(16 + 3) + 4 = √19 + 4.
  • VT = VP. Vậy x = -4 cũng là nghiệm của phương trình.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = {1; -4}.

Cách 2: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình theo ẩn mới

Phân tích ý tưởng:
Quan sát kỹ phương trình: x² + 3x + √(7 - 3x) = √(x² + 3) + 4.
Ta thấy có hai biểu thức dưới dấu căn là 7 - 3x và x² + 3. Các biểu thức bên ngoài là x² + 3x.
Hãy để ý mối liên hệ giữa chúng:

• Nếu ta đặt a = √(7 - 3x) thì a² = 7 - 3x, suy ra 3x = 7 - a².
• Nếu ta đặt b = √(x² + 3) thì b² = x² + 3, suy ra x² = b² - 3.

Bây giờ, hãy thử cộng hai biểu thức x² và 3x mà ta vừa suy ra:
x² + 3x = (b² - 3) + (7 - a²) = b² - a² + 4.

Thật kỳ diệu, biểu thức x² + 3x ở vế trái có thể được biểu diễn hoàn toàn qua a và b. Điều này cho phép ta thay thế toàn bộ phương trình ban đầu thành một phương trình chỉ chứa hai ẩn a và b.

Bài giải chi tiết

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)
Như cách giải trước, ĐKXĐ của phương trình là: x ≤ 7/3.

Bước 2: Đặt ẩn phụ

• Đặt a = √(7 - 3x)
• Đặt b = √(x² + 3)

Từ ĐKXĐ và định nghĩa căn bậc hai, ta có điều kiện cho các ẩn phụ:

• a ≥ 0
• x² ≥ 0 ⇒ x² + 3 ≥ 3 ⇒ b ≥ √3. (Điều kiện b > 0 là đủ)

Từ cách đặt, ta suy ra:

• a² = 7 - 3x ⇒ 3x = 7 - a²
• b² = x² + 3 ⇒ x² = b² - 3

Bước 3: Thay thế vào phương trình ban đầu

Phương trình gốc là: x² + 3x + √(7 - 3x) = √(x² + 3) + 4.
Ta thay các biểu thức tương ứng đã đặt:
(x² + 3x) + a = b + 4

Bây giờ, thay x² + 3x bằng b² - a² + 4 (như đã phân tích ở trên):
(b² - a² + 4) + a = b + 4

Bước 4: Giải phương trình theo a và b

Ta có một phương trình gọn gàng chỉ chứa a và b:
b² - a² + 4 + a = b + 4
⇔ b² - a² + a - b = 0
⇔ (b² - a²) - (b - a) = 0
⇔ (b - a)(b + a) - (b - a) = 0

Đặt nhân tử chung (b - a) ra ngoài:
⇔ (b - a)(b + a - 1) = 0

Đây là một phương trình tích, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: b - a = 0
⇔ b = a
Thay a và b trở lại theo x:
√(x² + 3) = √(7 - 3x)
Bình phương hai vế (cả hai vế đều không âm nên phép bình phương là tương đương):
x² + 3 = 7 - 3x
⇔ x² + 3x - 4 = 0
Đây là phương trình bậc hai có a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0, nên có hai nghiệm:

• x₁ = 1 (Thỏa mãn ĐKXĐ x ≤ 7/3)
• x₂ = c/a = -4 (Thỏa mãn ĐKXĐ x ≤ 7/3)
  Cả hai nghiệm này đều được nhận.

Trường hợp 2: b + a - 1 = 0
⇔ a + b = 1
Thay a và b trở lại theo x:
√(7 - 3x) + √(x² + 3) = 1
Đây chính là phương trình mà ta đã gặp ở cách giải trước. Ta sẽ chứng minh nó vô nghiệm bằng phương pháp đánh giá:

• Ta có x² ≥ 0 với mọi x, suy ra x² + 3 ≥ 3. Do đó, √(x² + 3) ≥ √3.
• Theo điều kiện, 7 - 3x ≥ 0, suy ra √(7 - 3x) ≥ 0.
  Cộng hai vế của hai bất đẳng thức trên:
  √(7 - 3x) + √(x² + 3) ≥ 0 + √3 = √3
  Vì √3 ≈ 1.732 > 1, nên vế trái của phương trình luôn lớn hơn 1. Dấu bằng không thể xảy ra.
  Vậy trường hợp 2 vô nghiệm.

Bước 5: Kết luận
Tổng hợp nghiệm từ các trường hợp, ta có hai nghiệm là x = 1 và x = -4.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; -4}.

b) x - 4√(x + 7) - 3√x + 16 = 0

Phân tích và Lập luận

Đây là một phương trình vô tỉ phức tạp hơn vì chứa hai loại căn thức khác nhau là √(x + 7) và √x. Phương pháp giải thông thường cho dạng này là biến đổi phương trình để có thể bình phương hai vế, nhằm mục đích khử dấu căn. Sau khi bình phương, ta thường sẽ đưa được về một phương trình quen thuộc hơn (như phương trình bậc hai).

Một lưu ý cực kỳ quan trọng khi dùng phương pháp bình phương hai vế là nó có thể làm xuất hiện "nghiệm ngoại lai" (nghiệm của phương trình mới nhưng không phải là nghiệm của phương trình ban đầu). Do đó, sau khi tìm được nghiệm, ta bắt buộc phải thực hiện bước thử lại hoặc đối chiếu chặt chẽ với điều kiện xác định.

Bài giải chi tiết

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Để các căn thức trong phương trình có nghĩa, các biểu thức dưới dấu căn phải không âm:

• x ≥ 0
• x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -7

Kết hợp cả hai điều kiện trên (x ≥ 0 và x ≥ -7), ta lấy điều kiện chặt hơn.

• Vậy, ĐKXĐ của phương trình là: x ≥ 0.

Bước 2: Biến đổi phương trình

Để chuẩn bị cho việc bình phương, ta sẽ chuyển các hạng tử chứa căn sang một vế, các hạng tử còn lại sang vế kia. Điều này giúp việc bình phương trở nên gọn gàng hơn.

• Từ phương trình: x - 4√(x + 7) - 3√x + 16 = 0
• Chuyển vế: x + 16 = 4√(x + 7) + 3√x

Bước 3: Bình phương hai vế của phương trình

Bây giờ, ta tiến hành bình phương cả hai vế của phương trình x + 16 = 4√(x + 7) + 3√x để loại bỏ dần các dấu căn.

• Vế trái: (x + 16)² = x² + 2 * x * 16 + 16² = x² + 32x + 256
• Vế phải: Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b²
  (4√(x + 7) + 3√x)² = (4√(x + 7))² + 2 * (4√(x + 7)) * (3√x) + (3√x)²
  = 16(x + 7) + 24√((x + 7)x) + 9x
  = 16x + 112 + 24√(x² + 7x) + 9x
  = 25x + 112 + 24√(x² + 7x)
• Phương trình mới sau khi bình phương:
  x² + 32x + 256 = 25x + 112 + 24√(x² + 7x)

Bước 4: Rút gọn và tiếp tục biến đổi

Ta sẽ dồn các hạng tử không chứa căn về một vế để làm xuất hiện dạng phương trình có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ.

• x² + 32x - 25x + 256 - 112 = 24√(x² + 7x)
• x² + 7x + 144 = 24√(x² + 7x)

Đến đây, ta nhận thấy cả hai vế đều có sự xuất hiện của biểu thức x² + 7x. Đây là dấu hiệu tốt để sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Bước 5: Đặt ẩn phụ

• Đặt t = √(x² + 7x).
• Dựa vào ĐKXĐ x ≥ 0, ta có x² ≥ 0 và 7x ≥ 0, suy ra x² + 7x ≥ 0. Do đó, điều kiện của ẩn phụ là t ≥ 0.
• Từ cách đặt, ta có t² = x² + 7x.

Thay t và t² vào phương trình x² + 7x + 144 = 24√(x² + 7x), ta được:

• t² + 144 = 24t

Bước 6: Giải phương trình theo ẩn phụ t

Ta có một phương trình bậc hai đơn giản theo ẩn t:

• t² - 24t + 144 = 0
  Đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ: (a - b)² = a² - 2ab + b².
• (t - 12)² = 0
• t - 12 = 0
• t = 12

Giá trị t = 12 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0, nên ta nhận giá trị này.

Bước 7: Tìm lại x

Bây giờ ta thay t = 12 trở lại vào biểu thức đặt ẩn phụ:

• √(x² + 7x) = 12
  Bình phương hai vế một lần nữa:
• x² + 7x = 12²
• x² + 7x = 144
• x² + 7x - 144 = 0

Đây là phương trình bậc hai theo x. Ta giải bằng công thức nghiệm:

• Hệ số: a = 1, b = 7, c = -144
• Biệt thức Delta: Δ = b² - 4ac = 7² - 4 * 1 * (-144) = 49 + 576 = 625
• √Δ = √625 = 25
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
• • x₁ = (-b + √Δ) / 2a = (-7 + 25) / 2 = 18 / 2 = 9
  • x₂ = (-b - √Δ) / 2a = (-7 - 25) / 2 = -32 / 2 = -16

Bước 8: Đối chiếu điều kiện và thử lại

Ta đối chiếu các nghiệm vừa tìm được với ĐKXĐ x ≥ 0:

• x = 9 (thỏa mãn ĐKXĐ)
• x = -16 (không thỏa mãn ĐKXĐ, nên ta loại)

Để chắc chắn, ta thử lại nghiệm x = 9 vào phương trình ban đầu:
x - 4√(x + 7) - 3√x + 16 = 0
9 - 4√(9 + 7) - 3√9 + 16 = 0
9 - 4√16 - 3 * 3 + 16 = 0
9 - 4 * 4 - 9 + 16 = 0
9 - 16 - 9 + 16 = 0
0 = 0 (Luôn đúng)

Vậy x = 9 chính là nghiệm của phương trình.

Kết luận

Tập nghiệm của phương trình là S = {9}.

Câu a) x² – 3x + 20 = 6√(x + 7)

1. Phân tích bài toán:
Đây là một phương trình vô tỉ chứa căn thức. Ta nhận thấy vế trái là một biểu thức bậc hai và vế phải chứa căn bậc hai. Một phương pháp hiệu quả cho dạng này là biến đổi phương trình về dạng tổng của các bình phương bằng 0, tức là A² + B² = 0, khi đó ta sẽ có A = 0 và B = 0.

2. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Biểu thức dưới dấu căn phải không âm:
x + 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ -7

3. Biến đổi phương trình:
Ta sẽ cố gắng nhóm các hạng tử để tạo ra các hằng đẳng thức (bình phương của một tổng/hiệu).
Phương trình đã cho: x² – 3x + 20 = 6√(x + 7)
⇔ x² – 3x + 20 – 6√(x + 7) = 0

Để ý hạng tử 6√(x + 7), ta có thể liên tưởng đến hằng đẳng thức (a - b)² = a² - 2ab + b². Ta có 2ab = 6√(x + 7) = 2 * 3 * √(x + 7).
Nếu ta chọn b = 3 và a = √(x + 7), thì ta cần có a² = (√(x + 7))² = x + 7 và b² = 3² = 9.
Vậy ta thử nhóm như sau: (x + 7) – 6√(x + 7) + 9.

Bây giờ ta xem các hạng tử còn lại của phương trình gốc:
Phương trình gốc là: x² – 3x + 20.
Ta đã lấy x + 7 và 9 (tổng là x+16) để nhóm với căn thức.
Vậy các hạng tử còn lại là: (x² – 3x + 20) - (x + 16) = x² - 3x - x + 20 - 16 = x² - 4x + 4.
Thật may mắn, x² - 4x + 4 chính là hằng đẳng thức (x - 2)².

Bây giờ, ta trình bày lại lời giải một cách mạch lạc:
x² – 3x + 20 – 6√(x + 7) = 0
⇔ (x² - 4x + 4) + (x + 7 - 6√(x + 7) + 9) = 0
⇔ (x - 2)² + (√(x + 7) - 3)² = 0

4. Giải phương trình:
Vì (x - 2)² ≥ 0 với mọi x và (√(x + 7) - 3)² ≥ 0 với mọi x thuộc ĐKXĐ, nên tổng của chúng bằng 0 khi và chỉ khi cả hai số hạng đều bằng 0.
Ta có hệ phương trình:
{ (x - 2)² = 0
{ (√(x + 7) - 3)² = 0

⇔ { x - 2 = 0
{ √(x + 7) - 3 = 0

⇔ { x = 2
{ √(x + 7) = 3

Giải phương trình dưới: √(x + 7) = 3 ⇔ x + 7 = 3² ⇔ x + 7 = 9 ⇔ x = 2.
Cả hai phương trình đều cho cùng một nghiệm là x = 2.

5. Đối chiếu điều kiện và kết luận:
Nghiệm x = 2 thỏa mãn ĐKXĐ x ≥ -7.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

Phân tích bài toán

Bài toán yêu cầu tính giá trị một biểu thức A dựa trên một phương trình phức tạp cho trước. Cấu trúc của phương trình, đặc biệt là biểu thức trong căn √[(x² - 6x + 13)(y² + 1)], gợi ý mạnh mẽ đến việc sử dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky (còn gọi là Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

Lời giải chi tiết

Bước 1: Biến đổi và đặt điều kiện cho phương trình

Ta có phương trình: √[(x² - 6x + 13)(y² + 1)] - xy + 3x = 2
Chuyển vế, ta được: √[(x² - 6x + 13)(y² + 1)] = xy - 3x + 2

Vì vế trái là một căn bậc hai nên giá trị của nó luôn không âm. Do đó, vế phải cũng phải thỏa mãn điều kiện tương tự:
Điều kiện: xy - 3x + 2 ≥ 0 (Đây là một điều kiện rất quan trọng để kiểm tra nghiệm)

Bây giờ, ta biến đổi biểu thức trong căn bằng phương pháp hoàn thành bình phương:

• x² - 6x + 13 = (x² - 6x + 9) + 4 = (x - 3)² + 2²
• y² + 1 = y² + 1²

Phương trình trở thành: √[((x - 3)² + 2²)(y² + 1²)] = xy - 3x + 2 (1)

Bước 2: Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky

Bất đẳng thức Bunyakovsky có dạng: (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)².
Lấy căn hai vế: √[(a² + b²)(c² + d²)] ≥ |ac + bd|.

Áp dụng vào vế trái của (1) với a = x - 3, b = 2, c = y. Với d² = 1², ta có hai khả năng cho d: d = 1 hoặc d = -1. Ta sẽ xét cả hai trường hợp.

Bước 3: Xét các trường hợp để tìm nghiệm

Trường hợp 1: Chọn d = 1
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
√[((x - 3)² + 2²)(y² + 1²)] ≥ |(x - 3)y + 2*1| = |xy - 3y + 2|

Kết hợp với phương trình (1), ta suy ra:
xy - 3x + 2 ≥ |xy - 3y + 2|

Để điều này xảy ra, BĐT Bunyakovsky phải trở thành dấu bằng, tức là:
a/c = b/d => (x - 3)/y = 2/1 => x - 3 = 2y (a)

Khi dấu bằng xảy ra, ta có: xy - 3x + 2 = |xy - 3y + 2|.
Điều này có thể dẫn đến xy - 3x + 2 = xy - 3y + 2.
=> -3x = -3y => x = y (b)

Từ (a) và (b), ta có hệ phương trình:
{ x - 3 = 2y
{ x = y

Thay x = y vào phương trình trên: y - 3 = 2y => y = -3.
Vì x = y, nên x = -3.

• Kiểm tra nghiệm: Ta cần kiểm tra cặp (x, y) = (-3, -3) với điều kiện xy - 3x + 2 ≥ 0.
  (-3)(-3) - 3(-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20.
  Vì 20 ≥ 0, điều kiện được thỏa mãn.
  Vậy (x, y) = (-3, -3) là một nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: Chọn d = -1
Áp dụng BĐT Bunyakovsky, ta có:
√[((x - 3)² + 2²)(y² + (-1)²)] ≥ |(x - 3)y + 2*(-1)| = |xy - 3y - 2|

Kết hợp với phương trình (1), ta suy ra:
xy - 3x + 2 ≥ |xy - 3y - 2|

Dấu bằng của BĐT xảy ra khi:
a/c = b/d => (x - 3)/y = 2/(-1) => x - 3 = -2y (c)

Khi dấu bằng xảy ra, ta có xy - 3x + 2 = |xy - 3y - 2|.
Xét trường hợp xy - 3x + 2 = xy - 3y - 2.
=> -3x = -3y - 4 => 3x - 3y = 4 (d)

Từ (c) và (d), ta có hệ:
{ x + 2y = 3
{ 3x - 3y = 4
Giải hệ này, ta được x = 17/9 và y = 5/9.

• Kiểm tra nghiệm: Ta kiểm tra cặp nghiệm này với điều kiện xy - 3x + 2 ≥ 0.
  (17/9)(5/9) - 3(17/9) + 2 = 85/81 - 51/9 + 2 = (85 - 459 + 162)/81 = -212/81.
  Vì -212/81 < 0, điều kiện không được thỏa mãn.
  Vậy đây là nghiệm ngoại lai, ta phải loại.

Như vậy, phương trình chỉ có một cặp nghiệm duy nhất là x = -3 và y = -3.

Bước 4: Tính giá trị của biểu thức A

Ta thay x = -3 và y = -3 vào biểu thức A:
A = (x - 3 + √[x² - 6x + 25]) * (y - √[y² + 4])

• Tính thừa số thứ nhất:
  x - 3 + √[x² - 6x + 25] = -3 - 3 + √[(-3)² - 6(-3) + 25]
  = -6 + √[9 + 18 + 25]
  = -6 + √52
  = -6 + 2√13
• Tính thừa số thứ hai:
  y - √[y² + 4] = -3 - √[(-3)² + 4]
  = -3 - √[9 + 4]
  = -3 - √13
• Nhân hai thừa số:
  A = (-6 + 2√13)(-3 - √13)
  A = (-6)(-3) + (-6)(-√13) + (2√13)(-3) + (2√13)(-√13)
  A = 18 + 6√13 - 6√13 - 2(13)
  A = 18 - 26
  A = -8

Kết luận

Giá trị của biểu thức A là -8.

Lời khuyên dành cho bạn

1. Điều kiện là trên hết: Khi giải phương trình chứa căn, hãy luôn đặt điều kiện cho biểu thức (ví dụ: vế phải của phương trình căn thức phải không âm). Đây là bước quyết định để loại bỏ nghiệm ngoại lai.
2. Khám phá mọi khả năng: Khi sử dụng các công cụ như BĐT, đôi khi sẽ có nhiều trường hợp cần xét (như d=1 và d=-1 ở trên). Đừng vội kết luận khi mới chỉ thử một trường hợp.
3. Kiểm tra lại nghiệm: Luôn dành thời gian để thay nghiệm tìm được vào lại phương trình gốc hoặc ít nhất là các điều kiện ban đầu. Đây là thói quen tốt nhất để đảm bảo kết quả của bạn là chính xác.

Bài giải

Tóm tắt đề bài:

• Lúc đi:
• • Quãng đường đi (Sđ): 810a (km)
  • Vận tốc đi (vđ): 30 (km/h)
• Lúc về:
• • Quãng đường về (Sv): Sđ + 65a³ = 810a + 65a³ (km)
  • Vận tốc về (vv): vđ - (30 - 189a) = 189a (km/h)
• Điều kiện: a > 1

Yêu cầu: Tính thời gian về nhiều hơn thời gian đi và viết biểu thức đó dưới dạng tích.

1. Thời gian mẹ chở bạn Hoa đi từ nhà đến trường là:

Áp dụng công thức t = S / v, ta có:
t_đi = Sđ / vđ = (810a) / 30 = 27a (giờ)

2. Thời gian mẹ đi từ trường về nhà là:

Quãng đường lúc mẹ đi từ trường về nhà là:
S_về = 810a + 65a³ (km)

Vận tốc lúc mẹ đi từ trường về nhà là:
v_về = 30 - (30 - 189a) = 30 - 30 + 189a = 189a (km/h)

Áp dụng công thức t = S / v, ta có:
t_về = S_về / v_về = (810a + 65a³) / (189a)

Đặt a làm nhân tử chung ở tử số:
t_về = [a(810 + 65a²)] / (189a)

Vì a > 1 nên a ≠ 0, ta rút gọn a ở cả tử và mẫu:
t_về = (810 + 65a²) / 189 (giờ)

3. Biểu thức biểu thị thời gian mẹ đi về nhiều hơn thời gian đi là:

Ta lấy thời gian về trừ đi thời gian đi:
Δt = t_về - t_đi = [(810 + 65a²) / 189] - 27a

Quy đồng mẫu số:
Δt = (810 + 65a²) / 189 - (27a * 189) / 189
Δt = (810 + 65a² - 5103a) / 189

Sắp xếp lại các hạng tử trong đa thức theo lũy thừa giảm dần của a:
Δt = (65a² - 5103a + 810) / 189

4. Viết biểu thức dưới dạng tích:

Để viết biểu thức trên dưới dạng tích theo yêu cầu đề bài, ta đặt 1/189 ra ngoài làm nhân tử chung:
Δt = 1/189 * (65a² - 5103a + 810)

Đáp số:

Thời gian mẹ đi về nhiều hơn thời gian lúc đi được biểu thị bằng biểu thức:
1/189 * (65a² - 5103a + 810) (giờ)