Hỏi, hỏi ngu hết chổ nói.

Đề bài: Cho số tự nhiên abc chia hết cho 27. Chứng tỏ rằng số bca cũng chia hết cho 27.

Bài giải chi tiết

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích cấu tạo số và tính chất chia hết của một tổng (hoặc hiệu).

Bước 1: Phân tích cấu tạo của các số abc và bca

• Số abc được viết dưới dạng cấu tạo số là: abc = a * 100 + b * 10 + c.
• Tương tự, số bca được viết là: bca = b * 100 + c * 10 + a.

Bước 2: Sử dụng giả thiết và biến đổi biểu thức

• Theo đề bài, ta có abc chia hết cho 27.
  Điều này có nghĩa là: a * 100 + b * 10 + c chia hết cho 27.
• Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng một mẹo nhỏ là nhân abc với 10.
  Vì abc chia hết cho 27, nên 10 * abc cũng chắc chắn chia hết cho 27.
  Ta có:
  10 * abc = 10 * (a * 100 + b * 10 + c)
  10 * abc = a * 1000 + b * 100 + c * 10

Bước 3: Biến đổi khéo léo để làm xuất hiện số bca

Mục tiêu của chúng ta là chứng minh bca = b * 100 + c * 10 + a chia hết cho 27. Hãy xem biểu thức 10 * abc ở trên, nó đã có b * 100 và c * 10 rồi, chúng ta cần làm xuất hiện a.

• Ta có thể tách a * 1000 thành a * 999 + a.
  10 * abc = (a * 999 + a) + b * 100 + c * 10
• Bây giờ, ta sẽ nhóm các số hạng lại để tạo ra số bca:
  10 * abc = a * 999 + (a + b * 100 + c * 10)
  10 * abc = a * 999 + bca

Bước 4: Lập luận và chứng minh

Từ biểu thức 10 * abc = a * 999 + bca, ta có thể suy ra:
bca = 10 * abc - a * 999

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét tính chia hết cho 27 của từng số hạng trong phép trừ này:

1. Xét số hạng 10 * abc:
2. • Theo đề bài, abc chia hết cho 27.
   • Theo tính chất chia hết, nếu một số chia hết cho 27 thì tích của nó với một số bất kỳ cũng chia hết cho 27.
   • Vì vậy, 10 * abc chia hết cho 27.
3. Xét số hạng a * 999:
4. • Ta hãy kiểm tra xem số 999 có chia hết cho 27 không.
   • Ta thực hiện phép chia: 999 : 27 = 37.
   • Vì 999 chia hết cho 27, nên a * 999 cũng chắc chắn chia hết cho 27 (với a là chữ số bất kỳ).

Bước 5: Kết luận

Chúng ta có một tính chất rất quan trọng: Nếu số A chia hết cho m và số B cũng chia hết cho m, thì hiệu (A - B) cũng sẽ chia hết cho m.

• Ở đây, ta đã chứng minh được 10 * abc chia hết cho 27.
• Ta cũng đã chứng minh được a * 999 chia hết cho 27.

Vậy, hiệu của chúng là (10 * abc - a * 999) phải chia hết cho 27.

Mà bca = 10 * abc - a * 999, do đó bca chia hết cho 27.

Điều này đã được chứng minh.

Lời khuyên

1. Nắm vững cấu tạo số: Việc phân tích một số thành tổng các giá trị theo hàng (trăm, chục, đơn vị) là kỹ năng cơ bản và rất quan trọng để giải các bài toán dạng này.
2. Ghi nhớ tính chất chia hết: Hãy luôn nhớ các tính chất như:
3. • Nếu A chia hết cho m thì k * A cũng chia hết cho m.
   • Nếu A chia hết cho m và B chia hết cho m thì (A + B) và (A - B) cũng chia hết cho m.
4. Mạnh dạn biến đổi: Đừng ngại nhân, tách, nhóm các biểu thức. Đôi khi một phép biến đổi nhỏ như nhân thêm 10 hoặc tách một số hạng có thể mở ra hướng đi cho cả bài toán.

Bài toán 1: So sánh C và D

Đề bài:
So sánh C = (13¹⁵ + 1) / (13¹⁶ + 1) và D = (13¹⁶ + 1) / (13¹⁷ + 1)

Phân tích và lời giải:

Đối với dạng toán so sánh hai phân số có tử và mẫu là các lũy thừa lớn như thế này, một phương pháp rất hiệu quả là nhân cả hai biểu thức với một số thích hợp để đưa chúng về dạng có thể so sánh được. Ở đây, ta thấy cơ số chung là 13, vậy ta sẽ thử nhân C và D với 13.

Bước 1: Biến đổi biểu thức 13 * C

Ta có:
C = (13¹⁵ + 1) / (13¹⁶ + 1)

Nhân cả hai vế với 13, ta được:
13 * C = 13 * (13¹⁵ + 1) / (13¹⁶ + 1)
13 * C = (13 * 13¹⁵ + 13 * 1) / (13¹⁶ + 1)
13 * C = (13¹⁶ + 13) / (13¹⁶ + 1)

Bây giờ, ta sẽ tách phân số này thành phần nguyên và phần phân số:
13 * C = (13¹⁶ + 1 + 12) / (13¹⁶ + 1)
13 * C = (13¹⁶ + 1) / (13¹⁶ + 1) + 12 / (13¹⁶ + 1)
13 * C = 1 + 12 / (13¹⁶ + 1)

Bước 2: Biến đổi biểu thức 13 * D

Tương tự, ta có:
D = (13¹⁶ + 1) / (13¹⁷ + 1)

Nhân cả hai vế với 13, ta được:
13 * D = 13 * (13¹⁶ + 1) / (13¹⁷ + 1)
13 * D = (13 * 13¹⁶ + 13 * 1) / (13¹⁷ + 1)
13 * D = (13¹⁷ + 13) / (13¹⁷ + 1)

Tách phân số này thành phần nguyên và phần phân số:
13 * D = (13¹⁷ + 1 + 12) / (13¹⁷ + 1)
13 * D = (13¹⁷ + 1) / (13¹⁷ + 1) + 12 / (13¹⁷ + 1)
13 * D = 1 + 12 / (13¹⁷ + 1)

Bước 3: So sánh 13 * C và 13 * D

Bây giờ chúng ta cần so sánh hai biểu thức mới:
13 * C = 1 + 12 / (13¹⁶ + 1)
13 * D = 1 + 12 / (13¹⁷ + 1)

Vì cả hai biểu thức đều có phần nguyên là 1, ta chỉ cần so sánh phần phân số:
12 / (13¹⁶ + 1) và 12 / (13¹⁷ + 1)

Hai phân số này có cùng tử số là 12. Khi so sánh hai phân số cùng tử dương, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì sẽ lớn hơn.

Ta hãy so sánh hai mẫu số:
Mẫu số thứ nhất: 13¹⁶ + 1
Mẫu số thứ hai: 13¹⁷ + 1

Vì 13 > 1 nên 13¹⁷ > 13¹⁶.
Suy ra: 13¹⁷ + 1 > 13¹⁶ + 1.

Vì mẫu số (13¹⁷ + 1) lớn hơn mẫu số (13¹⁶ + 1) nên:
12 / (13¹⁷ + 1) < 12 / (13¹⁶ + 1)

Từ đó, ta có:
1 + 12 / (13¹⁷ + 1) < 1 + 12 / (13¹⁶ + 1)
Điều này có nghĩa là: 13 * D < 13 * C

Bước 4: Kết luận

Vì 13 * D < 13 * C và 13 là một số dương, ta có thể chia cả hai vế cho 13 mà không làm đổi chiều bất đẳng thức:
D < C

Kết luận cuối cùng: C > D

Bài toán 2: So sánh A và B

Đề bài:
So sánh A = (2008²⁰⁰⁸ + 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1) và B = (2008²⁰⁰⁷ + 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Phân tích và lời giải:

Bài toán này có cấu trúc hoàn toàn tương tự bài toán trên. Ta sẽ áp dụng chính phương pháp nhân với cơ số (là 2008) để so sánh.

Bước 1: Biến đổi biểu thức 2008 * A

Ta có:
A = (2008²⁰⁰⁸ + 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)

Nhân cả hai vế với 2008:
2008 * A = 2008 * (2008²⁰⁰⁸ + 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * A = (2008 * 2008²⁰⁰⁸ + 2008 * 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * A = (2008²⁰⁰⁹ + 2008) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)

Tách thành phần nguyên và phần phân số:
2008 * A = (2008²⁰⁰⁹ + 1 + 2007) / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * A = (2008²⁰⁰⁹ + 1) / (2008²⁰⁰⁹ + 1) + 2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * A = 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1)

Bước 2: Biến đổi biểu thức 2008 * B

Tương tự với B:
B = (2008²⁰⁰⁷ + 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Nhân cả hai vế với 2008:
2008 * B = 2008 * (2008²⁰⁰⁷ + 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
2008 * B = (2008 * 2008²⁰⁰⁷ + 2008 * 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
2008 * B = (2008²⁰⁰⁸ + 2008) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Tách thành phần nguyên và phần phân số:
2008 * B = (2008²⁰⁰⁸ + 1 + 2007) / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
2008 * B = (2008²⁰⁰⁸ + 1) / (2008²⁰⁰⁸ + 1) + 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
2008 * B = 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Bước 3: So sánh 2008 * A và 2008 * B

Ta so sánh hai biểu thức:
2008 * A = 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1)
2008 * B = 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Tương tự như trên, ta so sánh hai phần phân số có cùng tử số là 2007:
2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1) và 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

So sánh hai mẫu số:
Mẫu số thứ nhất: 2008²⁰⁰⁹ + 1
Mẫu số thứ hai: 2008²⁰⁰⁸ + 1

Vì 2008 > 1 nên 2008²⁰⁰⁹ > 2008²⁰⁰⁸.
Suy ra: 2008²⁰⁰⁹ + 1 > 2008²⁰⁰⁸ + 1.

Vì mẫu số (2008²⁰⁰⁹ + 1) lớn hơn mẫu số (2008²⁰⁰⁸ + 1) nên:
2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1) < 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)

Từ đó, ta có:
1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁹ + 1) < 1 + 2007 / (2008²⁰⁰⁸ + 1)
Điều này có nghĩa là: 2008 * A < 2008 * B

Bước 4: Kết luận

Vì 2008 * A < 2008 * B và 2008 là một số dương nên:
A < B

Kết luận cuối cùng: A < B

Lời khuyên dành cho bạn

• Nhận dạng bài toán: Khi gặp các bài toán so sánh phân số có dạng (aⁿ + k) / (aⁿ⁺¹ + k), bạn hãy nghĩ ngay đến phương pháp nhân biểu thức với cơ số a.
• Mục tiêu của phương pháp: Việc nhân này giúp chúng ta tách biểu thức thành một phần nguyên (thường là 1) và một phần phân số nhỏ hơn. Điều này làm cho việc so sánh trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
• Ghi nhớ quy tắc so sánh phân số:
• • Nếu hai phân số có cùng tử số dương, phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
  • Nếu hai phân số có cùng mẫu số dương, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

https://hoidap247.com/cau-hoi/8176999

Bài toán này nói về chuyển động của một vật trên mặt phẳng nghiêng. Vì đề bài không đề cập đến ma sát, chúng ta sẽ giả sử rằng ma sát không đáng kể. Khi đó, cơ năng của vật sẽ được bảo toàn.

Kiến thức cần áp dụng:

1. Động năng (Wd): Năng lượng vật có được do chuyển động. Công thức: Wd = (1/2) * m * v²
2. Thế năng trọng trường (Wt): Năng lượng vật có được do ở một độ cao nhất định so với mốc. Công thức: Wt = m * g * h
3. Cơ năng (W): Là tổng động năng và thế năng của vật. Công thức: W = Wd + Wt
4. Định luật bảo toàn cơ năng: Khi vật chuyển động chỉ chịu tác dụng của trọng lực (bỏ qua ma sát, lực cản), cơ năng của vật là một đại lượng không đổi (được bảo toàn).

Tóm tắt đề bài:

• Khối lượng vật (m) = 0,1 kg
• Vận tốc ban đầu (v0) = 2 m/s
• Góc nghiêng (alpha) = 30°
• Gia tốc trọng trường (g) ≈ 10 m/s²

Giải chi tiết

Để giải bài toán, chúng ta sẽ chọn mốc thế năng tại vị trí bắt đầu ném vật lên.

a. Tính độ cao cực đại mà vật có thể đạt được.

• Lý luận: Khi vật được ném lên, động năng của nó sẽ dần chuyển hóa thành thế năng. Khi vật đạt độ cao cực đại (h_max), nó sẽ dừng lại trong giây lát, tức là vận tốc của nó bằng 0. Tại vị trí này, toàn bộ động năng ban đầu đã được chuyển hóa hết thành thế năng.
• Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vị trí bắt đầu ném (vị trí 1) và vị trí có độ cao cực đại (vị trí 2).

Bước 1: Tính cơ năng tại vị trí ném (vị trí 1)

• Tại vị trí ném, ta chọn làm mốc nên độ cao h1 = 0.
• Vận tốc của vật là v1 = v0 = 2 m/s.
• Động năng của vật: Wd1 = (1/2) * m * v1² = (1/2) * 0.1 * 2² = 0.2 (J)
• Thế năng của vật: Wt1 = m * g * h1 = 0.1 * 10 * 0 = 0 (J)
• Cơ năng của vật tại vị trí ném: W1 = Wd1 + Wt1 = 0.2 + 0 = 0.2 (J)

Bước 2: Tính cơ năng tại vị trí cao nhất (vị trí 2)

• Tại vị trí cao nhất, vật dừng lại nên vận tốc v2 = 0 m/s.
• Độ cao của vật là h2 = h_max (đây là giá trị cần tìm).
• Động năng của vật: Wd2 = (1/2) * m * v2² = (1/2) * 0.1 * 0² = 0 (J)
• Thế năng của vật: Wt2 = m * g * h2 = 0.1 * 10 * h_max = 1 * h_max (J)
• Cơ năng của vật tại vị trí cao nhất: W2 = Wd2 + Wt2 = 0 + h_max = h_max (J)

Bước 3: Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng

• Cơ năng được bảo toàn nên: W1 = W2
• => 0.2 = h_max
• Vậy, độ cao cực đại mà vật đạt được là 0,2 m.

b. Xác định vận tốc của vật khi vật chạm đất.

• Lý luận: "Chạm đất" ở đây được hiểu là vật quay trở lại vị trí ban đầu (vị trí được chọn làm mốc thế năng). Theo định luật bảo toàn cơ năng, khi vật quay trở lại vị trí có độ cao ban đầu, thế năng của nó sẽ bằng với thế năng ban đầu (bằng 0), do đó động năng của nó cũng phải bằng với động năng ban đầu.

Cách 1: So sánh vị trí đầu và vị trí cuối

• Cơ năng tại vị trí ném (vị trí 1): W1 = 0.2 J.
• Cơ năng tại vị trí "chạm đất" (vị trí 3):
• • Độ cao h3 = h1 = 0, nên thế năng Wt3 = 0.
  • Cơ năng W3 = Wd3 + Wt3 = (1/2) * m * v3² + 0 = (1/2) * 0.1 * v3².
• Vì cơ năng bảo toàn: W1 = W3
• => 0.2 = (1/2) * 0.1 * v3²
• => 0.2 = 0.05 * v3²
• => v3² = 0.2 / 0.05 = 4
• => v3 = √4 = 2 (m/s)

Cách 2: Lý luận nhanh

• Vì cơ năng được bảo toàn và vật quay trở lại vị trí có cùng độ cao so với mốc, nên thế năng của vật không đổi so với ban đầu. Do đó, động năng của vật cũng phải bằng động năng ban đầu.
• Điều này có nghĩa là độ lớn vận tốc của vật khi quay trở lại vị trí cũ bằng với độ lớn vận tốc ban đầu.
• Vậy, vận tốc của vật khi chạm đất là 2 m/s.

c. Nếu chuyển động dọc theo đường dốc 0,2 m lên mặt phẳng nghiêng thì vật có vận tốc bao nhiêu.

• Lý luận: Khi vật di chuyển một đoạn đường s = 0,2 m trên mặt phẳng nghiêng, nó sẽ đạt được một độ cao h mới. Chúng ta cần tìm độ cao này, sau đó áp dụng định luật bảo toàn cơ năng để tìm vận tốc.

Bước 1: Tìm độ cao của vật

• Quãng đường vật đi được trên mặt phẳng nghiêng là s = 0,2 m.
• Độ cao h4 tương ứng với quãng đường này được tính bằng công thức lượng giác:
• • sin(alpha) = đối / huyền = h4 / s
  • => h4 = s * sin(30°) = 0.2 * 0.5 = 0.1 m

Bước 2: Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng

• Ta so sánh cơ năng tại vị trí ném (vị trí 1) và vị trí mới này (vị trí 4).
• Cơ năng tại vị trí ném: W1 = 0.2 J (đã tính ở câu a).
• Cơ năng tại vị trí 4:
• • Động năng: Wd4 = (1/2) * m * v4² = (1/2) * 0.1 * v4² = 0.05 * v4²
  • Thế năng: Wt4 = m * g * h4 = 0.1 * 10 * 0.1 = 0.1 J
  • Cơ năng: W4 = Wd4 + Wt4 = (0.05 * v4²) + 0.1
• Áp dụng bảo toàn cơ năng: W1 = W4
• => 0.2 = (0.05 * v4²) + 0.1
• => 0.05 * v4² = 0.2 - 0.1 = 0.1
• => v4² = 0.1 / 0.05 = 2
• => v4 = √2 ≈ 1.414 (m/s)

Vậy, sau khi chuyển động được 0,2 m dọc theo đường dốc, vật có vận tốc khoảng 1,414 m/s.

Lời khuyên

• Hiểu rõ bản chất: Bài toán này là một ví dụ điển hình của sự chuyển hóa năng lượng giữa động năng và thế năng. Khi vật đi lên, vận tốc giảm (động năng giảm) và độ cao tăng (thế năng tăng). Ngược lại, khi vật đi xuống, vận tốc tăng (động năng tăng) và độ cao giảm (thế năng giảm).
• Chọn mốc thế năng: Việc chọn mốc thế năng một cách hợp lý (thường là vị trí thấp nhất) sẽ giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
• Lưu ý: Định luật bảo toàn cơ năng chỉ áp dụng khi không có ma sát. Nếu bài toán cho hệ số ma sát, chúng ta phải sử dụng định lý biến thiên cơ năng (kiến thức của lớp cao hơn).
• Phân biệt độ cao và quãng đường: Trên mặt phẳng nghiêng, độ cao (h) và quãng đường đi được (s) là hai đại lượng khác nhau. Luôn nhớ mối liên hệ qua góc nghiêng: h = s * sin(alpha).

Bài toán này nói về chuyển động của một vật trên mặt phẳng nghiêng. Vì đề bài không đề cập đến ma sát, chúng ta sẽ giả sử rằng ma sát không đáng kể. Khi đó, cơ năng của vật sẽ được bảo toàn.

Kiến thức cần áp dụng:

1. Động năng: Năng lượng vật có được do chuyển động. Công thức: 

   W_{đ} = \frac{1}{2} m v^{2}

   .
2. Thế năng trọng trường: Năng lượng vật có được do ở một độ cao nhất định so với mốc. Công thức: 

   W_{t} = m g h

   .
3. Cơ năng: Là tổng động năng và thế năng của vật. Công thức: 

   W = W_{đ} + W_{t}

   .
4. Định luật bảo toàn cơ năng: Khi vật chuyển động chỉ chịu tác dụng của trọng lực (bỏ qua ma sát, lực cản), cơ năng của vật là một đại lượng không đổi (được bảo toàn).

Tóm tắt đề bài:

• Khối lượng vật (m) = 0,1 kg
• Vận tốc ban đầu (v₀) = 2 m/s
• Góc nghiêng (α) = 30°
• Gia tốc trọng trường (g) ≈ 10 m/s²

Giải chi tiết

Để giải bài toán, chúng ta sẽ chọn mốc thế năng tại vị trí bắt đầu ném vật lên.

a. Tính độ cao cực đại mà vật có thể đạt được.

• Lý luận: Khi vật được ném lên, động năng của nó sẽ dần chuyển hóa thành thế năng. Khi vật đạt độ cao cực đại (h_max), nó sẽ dừng lại trong giây lát, tức là vận tốc của nó bằng 0. Tại vị trí này, toàn bộ động năng ban đầu đã được chuyển hóa hết thành thế năng.
• Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vị trí bắt đầu ném (vị trí 1) và vị trí có độ cao cực đại (vị trí 2).

Bước 1: Tính cơ năng tại vị trí ném (vị trí 1)

• Tại vị trí ném, ta chọn làm mốc nên độ cao h₁ = 0.
• Vận tốc của vật là v₁ = v₀ = 2 m/s.
• Động năng của vật: 

  W_{đ 1} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} \times 0 , 1 \times 2^{2} = 0 , 2

   (J)
• Thế năng của vật: 

  W_{t 1} = m g h_{1} = 0 , 1 \times 10 \times 0 = 0

   (J)
• Cơ năng của vật tại vị trí ném: 

  W_{1} = W_{đ 1} + W_{t 1} = 0 , 2 + 0 = 0 , 2

   (J)

Bước 2: Tính cơ năng tại vị trí cao nhất (vị trí 2)

• Tại vị trí cao nhất, vật dừng lại nên vận tốc v₂ = 0 m/s.
• Độ cao của vật là h₂ = h_max (đây là giá trị cần tìm).
• Động năng của vật: 

  W_{đ 2} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} = \frac{1}{2} \times 0 , 1 \times 0^{2} = 0

   (J)
• Thế năng của vật: 

  W_{t 2} = m g h_{2} = 0 , 1 \times 10 \times h_{m a x} = 1 \times h_{m a x}

   (J)
• Cơ năng của vật tại vị trí cao nhất: 

  W_{2} = W_{đ 2} + W_{t 2} = 0 + 1 \times h_{m a x} = h_{m a x}

   (J)

Bước 3: Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng

• Cơ năng được bảo toàn nên: 

  W_{1} = W_{2}

• ⇔ 

  0 , 2 = h_{m a x}

• Vậy, độ cao cực đại mà vật đạt được là 0,2 m.

b. Xác định vận tốc của vật khi vật chạm đất.

• Lý luận: "Chạm đất" ở đây được hiểu là vật quay trở lại vị trí ban đầu (vị trí được chọn làm mốc thế năng). Theo định luật bảo toàn cơ năng, khi vật quay trở lại vị trí có độ cao ban đầu, thế năng của nó sẽ bằng với thế năng ban đầu (bằng 0), do đó động năng của nó cũng phải bằng với động năng ban đầu.
• Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vị trí cao nhất (vị trí 2) và vị trí chạm đất (vị trí 3, trùng với vị trí 1).

Cách 1: So sánh vị trí đầu và vị trí cuối

• Cơ năng tại vị trí ném (vị trí 1): 

  W_{1} = 0 , 2

   J.
• Cơ năng tại vị trí "chạm đất" (vị trí 3):
• • Độ cao h₃ = h₁ = 0, nên thế năng 

    W_{t 3} = 0

    .
  • Cơ năng 

    W_{3} = W_{đ 3} + W_{t 3} = \frac{1}{2} m v_{3}^{2} + 0 = \frac{1}{2} \times 0 , 1 \times v_{3}^{2}

    .
• Vì cơ năng bảo toàn: 

  W_{1} = W_{3}

• ⇔ 

  0 , 2 = \frac{1}{2} \times 0 , 1 \times v_{3}^{2}

• ⇔ 

  0 , 2 = 0 , 05 \times v_{3}^{2}

• ⇔ 

  v_{3}^{2} = \frac{0 , 2}{0 , 05} = 4

• ⇔ 

  v_{3} = \sqrt{4} = 2

   (m/s)

Cách 2: Lý luận nhanh

• Vì cơ năng được bảo toàn và vật quay trở lại vị trí có cùng độ cao so với mốc, nên thế năng của vật không đổi so với ban đầu. Do đó, động năng của vật cũng phải bằng động năng ban đầu.
• Điều này có nghĩa là độ lớn vận tốc của vật khi quay trở lại vị trí cũ bằng với độ lớn vận tốc ban đầu.
• Vậy, vận tốc của vật khi chạm đất là 2 m/s.

c. Nếu chuyển động dọc theo đường dốc 0,2 m lên mặt phẳng nghiêng thì vật có vận tốc bao nhiêu.

• Lý luận: Khi vật di chuyển một đoạn đường s = 0,2 m trên mặt phẳng nghiêng, nó sẽ đạt được một độ cao h mới. Chúng ta cần tìm độ cao này, sau đó áp dụng định luật bảo toàn cơ năng để tìm vận tốc.

Bước 1: Tìm độ cao của vật

• Quãng đường vật đi được trên mặt phẳng nghiêng là s = 0,2 m.
• Độ cao h₄ tương ứng với quãng đường này được tính bằng công thức lượng giác:
• • sin(α) = đối / huyền = h₄ / s
  • ⇒ h₄ = s × sin(30°) = 0,2 × 0,5 = 0,1 m

Bước 2: Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng

• Ta so sánh cơ năng tại vị trí ném (vị trí 1) và vị trí mới này (vị trí 4).
• Cơ năng tại vị trí ném: 

  W_{1} = 0 , 2

   J (đã tính ở câu a).
• Cơ năng tại vị trí 4:
• • Động năng: 

    W_{đ 4} = \frac{1}{2} m v_{4}^{2} = \frac{1}{2} \times 0 , 1 \times v_{4}^{2} = 0 , 05 \times v_{4}^{2}

  • Thế năng: 

    W_{t 4} = m g h_{4} = 0 , 1 \times 10 \times 0 , 1 = 0 , 1

     J
  • Cơ năng: 

    W_{4} = W_{đ 4} + W_{t 4} = 0 , 05 \times v_{4}^{2} + 0 , 1

• Áp dụng bảo toàn cơ năng: 

  W_{1} = W_{4}

• ⇔ 

  0 , 2 = 0 , 05 \times v_{4}^{2} + 0 , 1

• ⇔ 

  0 , 05 \times v_{4}^{2} = 0 , 2 - 0 , 1 = 0 , 1

• ⇔ 

  v_{4}^{2} = \frac{0 , 1}{0 , 05} = 2

• ⇔ 

  v_{4} = \sqrt{2} \approx 1 , 414

   (m/s)

Vậy, sau khi chuyển động được 0,2 m dọc theo đường dốc, vật có vận tốc khoảng 1,414 m/s.

Lời khuyên

• Hiểu rõ bản chất: Bài toán này là một ví dụ điển hình của sự chuyển hóa năng lượng giữa động năng và thế năng. Khi vật đi lên, vận tốc giảm (động năng giảm) và độ cao tăng (thế năng tăng). Ngược lại, khi vật đi xuống, vận tốc tăng (động năng tăng) và độ cao giảm (thế năng giảm).
• Chọn mốc thế năng: Việc chọn mốc thế năng một cách hợp lý (thường là vị trí thấp nhất) sẽ giúp bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
• Lưu ý: Định luật bảo toàn cơ năng chỉ áp dụng khi không có ma sát. Nếu bài toán cho hệ số ma sát, chúng ta phải sử dụng định lý biến thiên cơ năng (kiến thức của lớp cao hơn).
• Phân biệt độ cao và quãng đường: Trên mặt phẳng nghiêng, độ cao (h) và quãng đường đi được (s) là hai đại lượng khác nhau. Luôn nhớ mối liên hệ qua góc nghiêng: h = s × sin(α).

Hệ vận động của người bao gồm bộ xương, hệ cơ và các khớp xương. Chúng phối hợp nhịp nhàng với nhau để giúp cơ thể vận động, di chuyển, có hình dạng nhất định và bảo vệ các cơ quan bên trong.

1. Sự phù hợp giữa cấu tạo và chức năng của Xương

Chức năng chính của xương:

• Tạo khung nâng đỡ và tạo hình dáng cho cơ thể.
• Bảo vệ các cơ quan quan trọng (não, tim, phổi).
• Là nơi bám của các cơ, tạo ra sự vận động.
• Sản sinh tế bào máu (nhờ tủy đỏ).
• Dự trữ khoáng chất, đặc biệt là Canxi và Photpho.

Sự phù hợp về cấu tạo của xương:

• Về thành phần hóa học: Xương được cấu tạo từ 2 thành phần chính là chất hữu cơ (cốt giao) và chất vô cơ (chủ yếu là muối canxi).
• • Chất hữu cơ đảm bảo tính đàn hồi, mềm dẻo cho xương, giúp xương không bị giòn, dễ gãy khi vận động hoặc va chạm.
  • Chất vô cơ đảm bảo tính rắn chắc, bền vững cho xương, giúp xương có thể chịu được lực tác động lớn, nâng đỡ trọng lượng cơ thể.
  • Sự kết hợp hài hòa giữa hai thành phần này giúp xương vừa cứng rắn lại vừa có độ đàn hồi nhất định, rất phù hợp với chức năng nâng đỡ và vận động.
• Về hình dạng và cấu trúc: Xương có nhiều hình dạng khác nhau, mỗi hình dạng lại phù hợp với chức năng riêng tại vị trí đó.
• Xương dài (như xương tay, xương chân): Có hình ống, hai đầu phình to. Thân xương cấu tạo từ xương cứng, giúp tăng khả năng chịu lực. Hai đầu xương là mô xương xốp gồm các nan xương xếp hình vòng cung, giúp phân tán lực tác động và giảm trọng lượng của xương. Cấu trúc này rất phù hợp với chức năng làm đòn bẩy trong vận động.
• Xương dẹt (như xương sọ, xương bả vai, xương sườn): Mỏng và rộng, có vai trò bảo vệ các cơ quan bên trong và là nơi bám vững chắc cho các cơ. Ví dụ, các xương sọ ghép lại tạo thành hộp sọ, bảo vệ an toàn cho não bộ.
• • Xương ngắn (như xương cổ tay, cổ chân): Gồm nhiều xương nhỏ, cấu tạo chủ yếu từ xương xốp, phù hợp với việc chịu lực nén và đảm bảo sự linh hoạt cho các cử động phức tạp của bàn tay, bàn chân.

2. Sự phù hợp giữa cấu tạo và chức năng của Khớp xương

Chức năng chính của khớp xương:

• Nối các đầu xương lại với nhau, tạo thành một bộ khung xương hoàn chỉnh.
• Giúp cơ thể cử động linh hoạt và đa dạng.

Sự phù hợp về cấu tạo của khớp xương: Tùy vào mức độ vận động mà khớp xương có cấu tạo khác nhau. Có 3 loại khớp chính:

• Khớp bất động (ví dụ: khớp ở hộp sọ): Các xương được liên kết với nhau bằng các đường nối hình răng cưa khít chặt. Cấu tạo này giúp chúng không thể cử động, rất phù hợp với chức năng bảo vệ tối đa cho não bộ bên trong.
• Khớp bán động (ví dụ: khớp cột sống, khớp mu): Giữa hai đầu xương là đệm sụn, giúp hạn chế sự cọ xát. Loại khớp này có khả năng cử động hạn chế, phù hợp với chức năng vừa tạo sự mềm dẻo cho cột sống (giúp ta cúi, ngửa, vặn mình), vừa đảm bảo sự vững chắc để nâng đỡ cơ thể.
• Khớp động (ví dụ: khớp gối, khớp vai, khớp ngón tay): Đây là loại khớp linh hoạt nhất, có cấu tạo phức tạp để đáp ứng chức năng vận động đa dạng.
• • Hai đầu xương có lớp sụn trơn, bóng giúp giảm ma sát.
  • Giữa khớp có bao hoạt dịch chứa dịch khớp (dịch nhờn) giúp bôi trơn khớp, làm khớp cử động dễ dàng.
  • Bên ngoài là bao khớp và các dây chằng giúp nối hai đầu xương một cách chắc chắn, đảm bảo khớp vận động trong giới hạn cho phép.

3. Sự phù hợp giữa cấu tạo và chức năng của Hệ cơ

Chức năng chính của cơ xương (cơ vân):

• Co và dãn để tạo ra lực kéo, làm xương cử động, giúp cơ thể di chuyển.

Sự phù hợp về cấu tạo của hệ cơ:

• Cấu tạo từ các tế bào cơ: Tế bào cơ có các tơ cơ mảnh và tơ cơ dày có khả năng trượt lên nhau gây ra sự co cơ. Đây là tính chất cơ bản và quan trọng nhất của cơ.
• Bám vào xương: Mỗi bắp cơ thường bám vào hai xương khác nhau qua các khớp nhờ gân. Khi cơ co, nó sẽ kéo xương cử động tại khớp, tạo nên hoạt động.
• Sắp xếp thành từng cặp đối kháng: Các cơ thường được sắp xếp thành từng cặp đối kháng (cơ co - cơ duỗi) trên cùng một bộ phận cơ thể. Ví dụ ở cánh tay có cặp cơ nhị đầu (gấp cẳng tay) và cơ tam đầu (duỗi cẳng tay). Khi cơ này co thì cơ kia duỗi và ngược lại. Sự phối hợp nhịp nhàng này giúp các cử động chính xác, uyển chuyển và linh hoạt.

Kết luận:

Như vậy, có thể thấy rõ ràng rằng mỗi bộ phận của hệ vận động đều có cấu tạo rất đặc trưng và phù hợp một cách hoàn hảo với chức năng mà nó đảm nhiệm. Xương tạo bộ khung vững chắc và là đòn bẩy, khớp tạo ra sự linh hoạt tại các điểm nối, và cơ cung cấp lực kéo để tạo ra chuyển động. Tất cả phối hợp với nhau một cách nhịp nhàng dưới sự điều khiển của hệ thần kinh, tạo nên một hệ vận động hoàn chỉnh và hiệu quả, giúp con người có thể thực hiện vô vàn các hoạt động phức tạp trong cuộc sống.

Dạng này có nhiều bài lắm rồi đó bạn .

https://olm.vn/cau-hoi/chung-to-rang-a1313213313202512cuu-mik.9468880820316


Bạn tham khảo các bài giải khác rồi tự tìm cách giải cho mình nhé. Phương pháp tương tự cho dạng này cả thôi.

Phân tích bài toán

• Giả thiết: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3.
• Yêu cầu: Chứng minh rằng biểu thức G = 1/(a² + b² + c²) + 9/(ab + bc + ca) ≥ 10/3.
• Hướng tiếp cận: Đây là dạng toán chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến. Một phương pháp hiệu quả là đặt ẩn phụ dựa trên các biểu thức đối xứng cơ bản là a² + b² + c² và ab + bc + ca, sau đó sử dụng mối liên hệ giữa chúng từ giả thiết a + b + c = 3 để đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức một biến.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Đặt ẩn phụ và tìm mối liên hệ

Ta đặt:

• X = a² + b² + c²
• Y = ab + bc + ca

Từ giả thiết a + b + c = 3, ta bình phương hai vế và có hằng đẳng thức quen thuộc:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
3² = X + 2Y
9 = X + 2Y

Từ đây, ta có thể rút Y theo X (hoặc ngược lại): 2Y = 9 - X, suy ra Y = (9 - X) / 2.

Bất đẳng thức (BĐT) cần chứng minh bây giờ có thể viết lại theo X và Y:
G = 1/X + 9/Y ≥ 10/3

Thay Y = (9 - X) / 2 vào biểu thức G, ta được:
G = 1/X + 9 / ((9 - X) / 2) = 1/X + 18/(9-X)

Vậy, bài toán trở thành chứng minh: 1/X + 18/(9 - X) ≥ 10/3

Bước 2: Tìm điều kiện (miền giá trị) của ẩn phụ X

Để chứng minh được BĐT trên, ta cần biết X có thể nhận những giá trị nào. Ta sử dụng một số BĐT cơ bản sau:

1. (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)
   Thay số vào ta có: 3² ≤ 3X ⇔ 9 ≤ 3X ⇔ X ≥ 3.
2. Do a, b, c là các số dương, nên không thể có trường hợp một số bằng 3 và hai số còn lại bằng 0. Giá trị X sẽ không đạt tới 9. Cụ thể, X = a² + b² + c² < (a + b + c)² = 9.

Vậy, điều kiện của X là 3 ≤ X < 9.

Bước 3: Chứng minh bất đẳng thức theo biến X

Ta cần chứng minh 1/X + 18/(9 - X) ≥ 10/3 với 3 ≤ X < 9.

Xét hiệu của hai vế:
VT - VP = [1/X + 18/(9 - X)] - 10/3

Ta sẽ biến đổi để chứng minh hiệu này không âm (lớn hơn hoặc bằng 0).
= [3(9 - X) + 18 * 3X - 10X(9 - X)] / [3X(9 - X)]
= [27 - 3X + 54X - (90X - 10X²)] / [3X(9 - X)]
= [27 + 51X - 90X + 10X²] / [3X(9 - X)]
= [10X² - 39X + 27] / [3X(9 - X)]

Bây giờ, ta cần xét dấu của biểu thức trên.

• Xét mẫu số: 3X(9 - X)
  Vì 3 ≤ X < 9, ta có X > 0 và 9 - X > 0. Do đó, mẫu số 3X(9 - X) > 0.
• Xét tử số: 10X² - 39X + 27
  Đây là một tam thức bậc hai. Ta sẽ tìm nghiệm của nó để phân tích thành nhân tử.
  Phương trình 10X² - 39X + 27 = 0 có:
  Δ = (-39)² - 4 * 10 * 27 = 1521 - 1080 = 441 = 21²
  Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
  X₁ = (39 - 21) / (2 * 10) = 18 / 20 = 9/10 = 0.9
  X₂ = (39 + 21) / (2 * 10) = 60 / 20 = 3
  Do đó, tử số có thể được phân tích thành: 10(X - 3)(X - 0.9)

Biểu thức của chúng ta trở thành:
VT - VP = [10(X - 3)(X - 0.9)] / [3X(9 - X)]

Với điều kiện X ≥ 3, ta có:

• X - 3 ≥ 0
• X - 0.9 > 0
• 10 > 0
  Suy ra tử số 10(X - 3)(X - 0.9) ≥ 0.

Vì cả tử số và mẫu số đều không âm (mẫu số dương), nên phân số trên lớn hơn hoặc bằng 0.
Tức là [1/X + 18/(9 - X)] - 10/3 ≥ 0, hay 1/X + 18/(9 - X) ≥ 10/3.

Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Bước 4: Xét dấu bằng

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi VT - VP = 0, điều này tương đương với tử số bằng 0.
10(X - 3)(X - 0.9) = 0
⇔ X - 3 = 0 (vì X ≥ 3 nên X - 0.9 > 0)
⇔ X = 3

Khi X = a² + b² + c² = 3, kết hợp với giả thiết a + b + c = 3, dấu bằng của BĐT (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²) xảy ra. Điều này chỉ đúng khi a = b = c.

Từ a + b + c = 3, ta suy ra a = b = c = 1.

Kết luận:

Vậy bất đẳng thức G = 1/(a² + b² + c²) + 9/(ab + bc + ca) ≥ 10/3 là đúng.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.

Lời khuyên và Mẹo giải toán

1. Nhận dạng: Khi gặp các BĐT đối xứng với ba biến a, b, c và có điều kiện liên quan đến tổng a+b+c, hãy nghĩ ngay đến việc đặt ẩn phụ theo các biểu thức đối xứng cơ bản như p = a+b+c, q = ab+bc+ca, r = abc hoặc các biểu thức liên quan như a²+b²+c².
2. Công cụ cần nhớ: Luôn ghi nhớ các BĐT nền tảng:
3. • (a+b+c)² ≥ 3(ab+bc+ca)
   • a²+b²+c² ≥ ab+bc+ca
   • 3(a²+b²+c²) ≥ (a+b+c)²
     Việc vận dụng thành thạo các BĐT này giúp bạn tìm ra miền giá trị của ẩn phụ một cách nhanh chóng.
4. Phương pháp một biến: Đưa bài toán về chứng minh BĐT với một biến là một kỹ thuật rất mạnh. Sau khi đưa về một biến, bạn có thể dùng các kỹ năng biến đổi đại số, phân tích nhân tử, xét dấu của tam thức bậc hai (như trong bài giải này) để giải quyết.

Trình bày rõ hơn ở Bước Tìm điều kiện (miền giá trị) của ẩn phụ X

Mục tiêu của bước này là tìm ra khoảng giá trị mà X = a² + b² + c² có thể nhận, dựa vào giả thiết a, b, c là các số dương và a + b + c = 3. Việc xác định chính xác khoảng giá trị này rất quan trọng để chứng minh bất đẳng thức ở bước tiếp theo.

Ta sẽ tìm cận dưới (giá trị nhỏ nhất có thể) và cận trên (giá trị lớn nhất có thể) của X.

1. Tìm cận dưới của X (Chứng minh X ≥ 3)

Để tìm cận dưới, ta sẽ sử dụng một bất đẳng thức quen thuộc là 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)². Nếu thầy cô yêu cầu chứng minh, thì ta sẽ chứng minh nó như sau:

• Xuất phát từ một hằng đẳng thức:
  Ta có: (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ≥ 0 (Điều này luôn đúng với mọi số a, b, c vì bình phương của một số luôn không âm).
• Khai triển và biến đổi:
  (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ca + a²) ≥ 0
  2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0
• Chia cả hai vế cho 2:
  a² + b² + c² - ab - bc - ca ≥ 0
  ⇔ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca (Đây là một BĐT rất quan trọng cần ghi nhớ).
• Tiếp tục biến đổi để ra BĐT cần dùng:
  Cộng a² + b² + c² vào cả hai vế của BĐT vừa chứng minh ở trên, ta được:
  (a² + b² + c²) + (a² + b² + c²) ≥ (ab + bc + ca) + (a² + b² + c²)
  2(a² + b² + c²) ≥ a² + b² + c² + ab + bc + ca
  Bây giờ, cộng thêm a² + b² + c² một lần nữa vào hai vế:
  3(a² + b² + c²) ≥ (a² + b² + c²) + (a² + b² + c² + ab + bc + ca)
  Lúc này, vế phải vẫn chưa ra dạng mong muốn. Ta làm cách khác đơn giản hơn:
  Từ a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca, ta nhân 2 vào cả hai vế:
  2(a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca)
  Cộng a² + b² + c² vào cả hai vế:
  2(a² + b² + c²) + (a² + b² + c²) ≥ 2(ab + bc + ca) + (a² + b² + c²)
  3(a² + b² + c²) ≥ a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
  Vế phải chính là hằng đẳng thức (a + b + c)².
  Vậy, 3(a² + b² + c²) ≥ (a + b + c)².
• Áp dụng vào bài toán:
  Thay X = a² + b² + c² và a + b + c = 3 vào BĐT vừa chứng minh, ta có:
  3X ≥ 3²
  3X ≥ 9
  X ≥ 3

Vậy, ta đã tìm được cận dưới của X là 3. Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1.

2. Tìm cận trên của X (Chứng minh X < 9)

• Xuất phát từ hằng đẳng thức:
  (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
• Thay các giá trị đã biết vào:
  3² = X + 2(ab + bc + ca)
  9 = X + 2(ab + bc + ca)
• Lập luận dựa trên giả thiết a, b, c là các số dương:
  Vì a > 0, b > 0, c > 0, nên:
• • ab > 0
  • bc > 0
  • ca > 0
    Suy ra, tổng của chúng cũng phải là một số dương: ab + bc + ca > 0.
    Do đó, 2(ab + bc + ca) cũng là một số dương.
• Suy ra cận trên của X:
  Từ đẳng thức 9 = X + 2(ab + bc + ca), ta có thể viết lại là X = 9 - 2(ab + bc + ca).
  Vì 2(ab + bc + ca) là một số dương, nên khi ta lấy 9 trừ đi một số dương, kết quả chắc chắn phải nhỏ hơn 9.
  Vậy, X < 9.

3. Kết luận về điều kiện của X

Kết hợp hai kết quả vừa tìm được:

1. X ≥ 3
2. X < 9

Vậy, điều kiện đầy đủ cho ẩn phụ X là 3 ≤ X < 9.

Đề nhìn không ra.