Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán:

a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác góc ngoài của tam giác ADB

• Bước 1: Tính góc $\widehat{ADC}$
  Vì $AD$ là tia phân giác trong của góc $\widehat{A}$ trong tam giác $ABC$, nên:$$\widehat{BAD} = \widehat{CAD} = \frac{\widehat{BAC}}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$$Kéo dài cạnh $BA$ về phía $A$ tạo thành tia $Ax$. Ta có $\widehat{xAC}$ và $\widehat{BAC}$ là hai góc kề bù, do đó:$$\widehat{xAC} = 180^\circ - \widehat{BAC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$Nhận thấy $\widehat{xAC} = \widehat{CAD} = 60^\circ$, suy ra $AC$ là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ADB$.
• Bước 2: Sử dụng tính chất ba đường phân giác trong tam giác
  Xét tam giác $ADB$:
  Hai đường phân giác này cắt nhau tại $E$. Theo tính chất hình học: "Trong một tam giác, hai đường phân giác ngoài của hai góc và đường phân giác trong của góc thứ ba đồng quy tại một điểm".
  Do đó, điểm $E$ chính là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $A$ của tam giác $ADB$. Suy ra đoạn thẳng nối từ đỉnh còn lại ($D$) đến $E$ là $DE$ phải là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $D$ của tam giác $ADB$.
• • $BE$ là đường phân giác trong tại đỉnh $B$ (theo giả thiết).
  • $AC$ (hay đường thẳng chứa $AE$) là đường phân giác ngoài tại đỉnh $A$ (chứng minh ở trên).

b) Tính số đo của góc $\widehat{EDF}$

• Bước 1: Chứng minh tương tự với DF
  Hoàn toàn tương tự như câu a, nếu ta xét tam giác $ADC$:
  Hai đường thẳng này cắt nhau tại $F$. Do đó, $F$ là tâm đường tròn bàng tiếp của tam giác $ADC$. Suy ra $DF$ là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh $D$ của tam giác $ADC$.
• • $CF$ là đường phân giác trong tại đỉnh $C$.
  • $AB$ (hay đường thẳng chứa $AF$) là đường phân giác ngoài tại đỉnh $A$ của tam giác $ADC$ (vì $\widehat{xAC} = \widehat{BAD} = 60^\circ$).
• Bước 2: Tính góc $\widehat{EDF}$
  Gọi tia đối của tia $DB$ là tia $Dy$.
  Nhận thấy góc $\widehat{ADy}$ và góc $\widehat{ADB}$ là hai góc kề bù ($\widehat{ADy} + \widehat{ADB} = 180^\circ$).
  Theo tính chất: "Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau". Do $DE$ và $DF$ lần lượt là phân giác của hai góc kề bù $\widehat{ADy}$ và $\widehat{ADB}$, nên chúng vuông góc với nhau.
• • Vì $DE$ là phân giác góc ngoài của tam giác $ADB$ tại đỉnh $D$, nên $DE$ là phân giác của góc $\widehat{ADE}$ hoặc góc kề bù với nó. Cụ thể hơn, góc ngoài tại đỉnh $D$ của tam giác $ADB$ là góc $\widehat{ADy}$. Do đó $DE$ là phân giác của góc $\widehat{ADy}$.
  • Vì $DF$ là phân giác góc ngoài của tam giác $ADC$ tại đỉnh $D$, góc ngoài tương ứng chính là góc $\widehat{ADB}$. Do đó $DF$ là phân giác của góc $\widehat{ADB}$.

Kết luận:

a) Đã chứng minh $DE$ là tia phân giác góc ngoài của tam giác $ADB$.

b) Số đo góc $\widehat{EDF} = 90^\circ$.

Để giải phương trình nghiệm nguyên dương:

Ta có thể sử dụng phương pháp chặn (giả định thứ tự) do vai trò của $x, y, z, t$ là bình đẳng như nhau.

Bước 1: Giả định thứ tự các biến

Không mất tính tổng quát, giả sử: $x \le y \le z \le t$ (với $x, y, z, t \in \mathbb{Z}^+$).

Từ đó suy ra: $\frac{1}{x^2} \ge \frac{1}{y^2} \ge \frac{1}{z^2} \ge \frac{1}{t^2}$

Bước 2: Chặn giá trị của $x$

Theo giả thiết trên, ta có:

Vì $x \in \mathbb{Z}^+$ nên $x$ chỉ có thể nhận các giá trị từ $\{1, 2\}$.

• Trường hợp $x = 1$:
  Thay vào phương trình ta được: $1 + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} + \frac{1}{t^2} = 0$ (Vô lý vì $y, z, t \in \mathbb{Z}^+$).
• Do đó, bắt buộc $x = 2$.

Bước 3: Chặn giá trị của $y$

Thay $x = 2$ vào phương trình ban đầu:

Tiếp tục áp dụng đánh giá với điều kiện $2 = x \le y \le z \le t$:

Vì $y \ge x = 2$ nên $y^2 \ge 4$. Kết hợp lại ta có $y^2 = 4 \Rightarrow$ $y = 2$.

Bước 4: Tìm giá trị của $z$ và $t$

Thay tiếp $y = 2$ vào biểu thức:

Tiếp tục đánh giá với điều kiện $2 = y \le z \le t$:

Vì $z \ge y = 2$ nên $z^2 \ge 4$. Do đó $z^2 = 4 \Rightarrow$ $z = 2$.

Cuối cùng, thay $z = 2$ để tìm $t$:

$$\frac{1}{4} + \frac{1}{t^2} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{t^2} = \frac{1}{4} \Rightarrow t^2 = 4 \Rightarrow$ $t = 2$.

Kết luận

Dưới điều kiện giả định $x \le y \le z \le t$, ta tìm được một nghiệm duy nhất là $x = y = z = t = 2$.

Vì tất cả các biến đều bằng nhau, việc hoán vị các vị trí không tạo ra bộ số mới.

Vậy nghiệm nguyên dương duy nhất của phương trình là:

$$(x, y, z, t) = (2, 2, 2, 2)$$

Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ($a \neq 0$) thực chất rất đơn giản vì đồ thị của nó luôn là một đường thẳng. Để vẽ nhanh và chính xác trong vòng "10 giây", dân chuyên toán thường áp dụng mẹo Tìm giao điểm với 2 trục tọa độ (trục hoành $Ox$ và trục tung $Oy$).

Dưới đây là công thức "thần tốc" để bạn áp dụng:

1. Mẹo "Cho $x = 0$ và Cho $y = 0$"

Vì qua 2 điểm bất kỳ ta luôn vẽ được một đường thẳng duy nhất, bạn chỉ cần tìm đúng 2 điểm đặc biệt sau:

• Bước 1 (Tìm giao điểm với $Oy$): Cho $x = 0 \Rightarrow y = b$. Ta được điểm thứ nhất là $A(0; b)$ nằm ngay trên trục dọc $Oy$.
• Bước 2 (Tìm giao điểm với $Ox$): Cho $y = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a}$. Ta được điểm thứ hai là $B\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$ nằm trên trục ngang $Ox$.
• Bước 3: Chấm 2 điểm $A$ và $B$ lên hệ trục tọa độ, dùng thước nối chúng lại và kéo dài về hai phía là xong!

2. Ví dụ thực hành nhanh

Bài toán: Vẽ đồ thị hàm số $y = 2x - 4$

• Nhẩm bước 1: Cho $x = 0 \Rightarrow y = -4$. Chấm một điểm tại số $-4$ trên trục $Oy$.
• Nhẩm bước 2: Cho $y = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Chấm một điểm tại số $2$ trên trục $Ox$.
• Bước 3: Đặt thước nối hai điểm vừa chấm. Cực kỳ nhanh và không sợ lệch!

3. Mẹo "Sửa sai" và kiểm tra nhanh bằng mắt

Sau khi vẽ xong, bạn có thể nhìn lướt qua để biết mình vẽ đúng hay sai dựa vào hệ số $a$:

• Nếu $a > 0$: Đường thẳng phải có xu hướng đi lên từ trái sang phải (hàm số đồng biến).
• Nếu $a < 0$: Đường thẳng phải có xu hướng đi xuống từ trái sang phải (hàm số nghịch biến).

💡 Mẹo nhỏ khi gặp phân số: Nếu gặp hàm số có phân số dạng $y = \frac{2}{3}x + 1$, nếu cho $y = 0$ thì $x$ sẽ bị lẻ khó chấm. Lúc này, thay vì cho $y = 0$, bạn hãy chọn $x$ là bội số của mẫu số (ví dụ chọn $x = 3 \Rightarrow y = 3$). Bạn sẽ có ngay điểm $(3; 3)$ là số nguyên rất dễ vẽ!

Hai thành ngữ "Qua cầu rút ván" và "Ăn cháo đá bát" về cơ bản là rất giống nhau vì đều dùng để chỉ những kẻ bạc bẽo, vô ơn. Tuy nhiên, nếu phân tích kỹ về hoàn cảnh sử dụng và sắc thái biểu cảm, hai câu này có một chút khác biệt tinh tế:

1. Giống nhau

• Về bản chất: Cả hai câu đều phê phán hành động vô ơn bội nghĩa. Người thực hiện hành động này đều đã nhận được sự giúp đỡ, lợi ích từ người khác, nhưng sau khi đạt được mục đích thì lập tức quay lưng, đối xử tệ bạc với người từng giúp mình.

2. Sự khác biệt tinh tế

• Ví dụ "Qua cầu rút ván": Hai người cùng hợp tác làm ăn, khi thành công và có chỗ đứng, người này tìm cách đuổi người kia ra khỏi công ty để độc chiếm tài sản.
• Ví dụ "Ăn cháo đá bát": Một người lúc nghèo khổ được hàng xóm cưu mang, cho ăn cho mặc. Sau này giàu có lên lại khinh thường, thậm chí vu oan, làm hại nhà người hàng xóm đó.

Tóm lại

• "Qua cầu rút ván" thiên về việc lợi dụng xong rồi vứt bỏ.
• "Ăn cháo đá bát" (hoặc đồng nghĩa là Ăn mật trả gừng, Được chim bẻ ná) thiên về sự bội bạc, phản trắc.

Cả hai câu đều là những bài học sâu sắc của cha ông ta nhắc nhở về đạo lý làm người: Phải luôn ghi nhớ và trân trọng những người đã từng giúp đỡ mình lúc khó khăn.

Bước 1: Xác định cấu tạo của số thập phân

Theo đề bài, số thập phân này có hai chữ số ở phần thập phân. Vì vậy, số đó sẽ có dạng tổng quát là:

A,BC

(Trong đó: A là phần nguyên, B là chữ số hàng phần mười, C là chữ số hàng phần trăm).

Bước 2: Tìm chữ số phần nguyên (A)

• Dữ kiện: Số này lớn hơn 6 nhưng bé hơn 7 ($6 < \text{Số đó} < 7$).
• Phân tích: Những số lớn hơn 6 và nhỏ hơn 7 thì chắc chắn phải có phần nguyên là 6 (ví dụ: 6,1; 6,25; 6,99...).
• Kết luận: Chữ số phần nguyên A = 6.

Bước 3: Tìm chữ số hàng phần mười (B)

• Dữ kiện: Hàng phần mười là chữ số chẵn nhỏ nhất.
• Phân tích: Trong các chữ số ($0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$), các chữ số chẵn là $0; 2; 4; 6; 8$. Trong đó, chữ số chẵn nhỏ nhất chính là số 0.
• Kết luận: Chữ số hàng phần mười B = 0.

Bước 4: Tìm chữ số hàng phần trăm (C)

• Dữ kiện: Hàng phần trăm là chữ số lẻ lớn nhất.
• Phân tích: Trong tập hợp các chữ số, các chữ số lẻ là $1; 3; 5; 7; 9$. Trong đó, chữ số lẻ lớn nhất chính là số 9.
• Kết luận: Chữ số hàng phần trăm C = 9.

Kết luận cuối cùng

Ghép các chữ số lại theo dạng A,BC, ta được:

• Phần nguyên là 6
• Hàng phần mười là 0
• Hàng phần trăm là 9

Số thập phân bạn Nam đã viết là: 6,09 (Sáu phẩy không chín).

ước mơ của mình là được sống một cuộc đời bình yên

1. Cách vẽ hình bằng thước và thước đo góc

• Bước 1: Vẽ đường thẳng $xy$. Lấy một điểm $O$ nằm trên đường thẳng này (đây sẽ là gốc của các góc). Lúc này bạn có tia $Ox$ và tia $Oy$ đối nhau.
• Bước 2: Đặt tâm thước đo góc tại điểm $O$, vạch $0^\circ$ trùng với tia $Ox$. Đánh dấu vị trí $130^\circ$ và vẽ tia $Oz$.
• • Kiểm tra: Bạn sẽ có $\widehat{xOz} = 130^\circ$. Vì $\widehat{xOz}$ và $\widehat{zOy}$ kề bù nên góc còn lại $\widehat{zOy}$ tự động bằng $180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.
• Bước 3: Để vẽ tia phân giác $Ot$ của $\widehat{xOz}$, bạn tính:$$\widehat{xOt} = \widehat{tOz} = \frac{\widehat{xOz}}{2} = \frac{130^\circ}{2} = 65^\circ$$Đặt thước đo góc từ tia $Ox$, đánh dấu ở vạch $65^\circ$ và vẽ tia $Ot$ nằm giữa hai tia $Ox$ và $Oz$.

2. Hình vẽ minh họa trực quan

Do điều kiện hiển thị, bạn có thể hình dung sơ đồ phân bố các tia từ gốc $O$ quét từ phải sang trái (từ $0^\circ$ đến $180^\circ$) như sau:

              z (130°)
             /
            /    
           /      t (65°)
          /      /
         /      /  
________/______/_________
y       O               x

• Tia $Ox$ nằm bên phải (mốc $0^\circ$).
• Tia $Ot$ lao chếch lên về bên phải, chia đôi góc $\widehat{xOz}$ ($\widehat{xOt} = \widehat{tOz} = 65^\circ$).
• Tia $Oz$ lao chếch sang bên trái ($\widehat{xOz} = 130^\circ$).
• Tia $Oy$ nằm bệt hẳn sang bên trái (mốc $180^\circ$), tạo với $Ox$ một đường thẳng bằng phẳng.

Dưới đây là các số đã cho được chuyển thành dạng lũy thừa (thường dùng nhất là lũy thừa bậc 2 - bình phương của một số tự nhiên):

• 25=52
• 9=32
• 100=102
• 16=42 (hoặc có thể viết dưới dạng bậc 4 là 24)
• 49=72
• 36=62
• 64=82 (hoặc có thể viết dưới dạng bậc 3 là 43, bậc 6 là 26)
• 81=92 (hoặc có thể viết dưới dạng bậc 4 là 34)

Để giải bài toán này một cách chính xác nhất, có một điểm cần làm rõ trong đề bài: Điểm D nằm ở vị trí nào? Thông thường với dạng toán này, D sẽ nằm trên cạnh AB. Vì cạnh $AB = 40\text{ cm}$ và $AD = 20\text{ cm}$, điều này nghĩa là D chính là trung điểm của cạnh AB.

Dưới đây là lời giải chi tiết dựa trên trường hợp D nằm trên cạnh AB:

a) Tính diện tích tam giác ABC và tam giác ACE

Do đề bài chưa cho độ dài cạnh AC, ta sẽ gọi độ dài cạnh AC là $AC$ (cm).

• Diện tích tam giác ABC:
  Vì tam giác ABC vuông tại A nên:$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 40 \times AC = 20 \times AC \text{ (cm}^2\text{)}$$
• Diện tích tam giác ACE:
  Nhận thấy đoạn thẳng DE song song với AC ($DE \parallel AC$). Vì AC vuông góc với AB tại A nên DE cũng sẽ vuông góc với AB tại D. Do đó, DE chính là đường cao hạ từ E xuống cạnh AB của tam giác ABE.
  Diện tích tam giác ABE là:$$S_{ABE} = \frac{1}{2} \times DE \times AB$$Mặt khác, trong tam giác ABC, đường thẳng DE đi qua trung điểm D của AB và song song với cạnh đáy AC, nên DE là đường trung bình của tam giác ABC. Từ đó suy ra E là trung điểm của BC và:$$DE = \frac{1}{2} \times AC$$Thay $DE$ vào công thức diện tích tam giác ABE:$$S_{ABE} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2} \times AC\right) \times 40 = 10 \times AC \text{ (cm}^2\text{)}$$Ta có diện tích tam giác ACE bằng diện tích tam giác lớn ABC trừ đi diện tích tam giác ABE:$$S_{ACE} = S_{ABC} - S_{ABE} = 20 \times AC - 10 \times AC = 10 \times AC \text{ (cm}^2\text{)}$$

Kết luận câu a:

• Diện tích tam giác ABC là $20 \times AC \text{ (cm}^2\text{)}$.
• Diện tích tam giác ACE là $10 \times AC \text{ (cm}^2\text{)}$ (bằng một nửa diện tích tam giác ABC).
  (Nếu đề bài của bạn có cho sẵn độ dài cạnh AC bằng bao nhiêu số cụ thể, bạn chỉ cần thay số đó vào chữ $AC$ ở kết quả trên là ra ngay số mét vuông/cm vuông nhé!)

b) Tính độ dài đoạn thẳng DE

Như đã phân tích ở câu a, vì $DE \parallel AC$ và D là trung điểm của cạnh AB ($AD = 20\text{ cm} = \frac{1}{2}AB$):

Theo tính chất đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng DE song song với cạnh đáy và có độ dài bằng một nửa cạnh đáy tương ứng.

Kết luận câu b: Độ dài đoạn thẳng DE bằng một nửa độ dài cạnh AC.

(Tương tự như câu a, nếu bài toán cho biết số đo cụ thể của cạnh AC hoặc cạnh BC, ta sẽ tính được ngay con số chính xác cho DE qua định lý Pytago hoặc phép chia đôi này).

Để tính số tiền mẹ có trong túi, chúng ta có thể thiết lập phương trình dựa trên số lượng thịt dự tính mua ban đầu.

Gọi số lượng thịt bò mẹ dự tính mua ban đầu là $x$ (kg), với $x > 0$.

1. Phân tích theo dự tính ban đầu

• Theo dự tính, số thịt lợn gấp 3 lần số thịt bò, tức là mẹ sẽ mua $3x$ (kg) thịt lợn.
• Giá niêm yết: Thịt lợn là 120 nghìn đồng/kg, thịt bò là 250 nghìn đồng/kg.
• Tổng số tiền mẹ có trong túi được tính theo công thức:$$Số\ tiền = 120 \times 3x + 250 \times x = 360x + 250x = 610x \text{ (nghìn đồng)}$$

2. Phân tích theo thực tế sau khi giảm giá

Hôm nay cửa hàng giảm giá nên giá thực tế của mỗi loại thịt là:

• Giá thịt lợn sau khi giảm 10%: $120 \times (1 - 0.1) = 108$ nghìn đồng/kg.
• Giá thịt bò sau khi giảm 20%: $250 \times (1 - 0.2) = 200$ nghìn đồng/kg.

Thực tế, mẹ mua được:

• Số thịt lợn như dự tính: $3x$ (kg).
• Số thịt bò nhiều hơn dự tính 430g (đổi ra kg là 0.43 kg): $x + 0.43$ (kg).

Vì mẹ tiêu vừa hết số tiền trong túi, ta có phương trình tổng chi phí thực tế:

3. Giải phương trình tìm số tiền

Vì số tiền mẹ có không đổi, ta cho hai biểu thức tính số tiền bằng nhau:

Như vậy, ban đầu mẹ dự tính mua 1 kg thịt bò.

4. Kết luận

Thay $x = 1$ vào công thức tính số tiền ban đầu:

Kết luận: Mẹ có 610.000 đồng (Sáu trăm mười nghìn đồng) trong túi.