Trong tam giác vuông AHB (vì AH ⊥ BH):

• AH là cạnh đối diện với góc ∠ABH.
• HB là cạnh kề với góc ∠ABH.
• AB là cạnh huyền.

Trong tam giác vuông AHC (vì AH ⊥ HC):

• AH là cạnh đối diện với góc ∠ACH (hay ∠C).
• HC là cạnh kề với góc ∠ACH.
• AC là cạnh huyền.

a) Tính HB và HC:

Tính HC:
Xét tam giác vuông AHC.
Ta có: \(tan ⁡ \left(\right. \angle C \left.\right) = \frac{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}}{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{k} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}}} = \frac{A H}{H C}\)
\(tan ⁡ \left(\right. 4 1^{\circ} \left.\right) = \frac{4}{H C}\)
\(H C = \frac{4}{tan ⁡ \left(\right. 4 1^{\circ} \left.\right)}\)

Để tính giá trị số, ta cần biết \(tan ⁡ \left(\right. 4 1^{\circ} \left.\right)\).
Sử dụng công cụ tính toán:
\(tan ⁡ \left(\right. 4 1^{\circ} \left.\right) \approx 0.8692867\)
\(H C \approx \frac{4}{0.8692867} \approx 4.6015\) cm

Tính HB:
Xét tam giác vuông AHB.
Để tính HB, chúng ta cần góc ∠ABH (hay ∠B).
Trong tam giác vuông AHB, ta có:
Góc ∠B = 90° - ∠BAH = 90° - 28° = 62°.

Bây giờ ta có thể dùng \(tan ⁡ \left(\right. \angle B \left.\right)\):
\(tan ⁡ \left(\right. \angle B \left.\right) = \frac{A H}{H B}\)
\(tan ⁡ \left(\right. 6 2^{\circ} \left.\right) = \frac{4}{H B}\)
\(H B = \frac{4}{tan ⁡ \left(\right. 6 2^{\circ} \left.\right)}\)

Sử dụng công cụ tính toán:
\(tan ⁡ \left(\right. 6 2^{\circ} \left.\right) \approx 1.880726\)
\(H B \approx \frac{4}{1.880726} \approx 2.1268\) cm

Kết quả phần a:

• HB ≈ 2.13 cm
• HC ≈ 4.60 cm

b) Tính AB và AC:

Tính AC:
Xét tam giác vuông AHC.
Ta có: \(sin ⁡ \left(\right. \angle C \left.\right) = \frac{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}}{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{huy} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n}} = \frac{A H}{A C}\)
\(sin ⁡ \left(\right. 4 1^{\circ} \left.\right) = \frac{4}{A C}\)
\(A C = \frac{4}{sin ⁡ \left(\right. 4 1^{\circ} \left.\right)}\)

Sử dụng công cụ tính toán:
\(sin ⁡ \left(\right. 4 1^{\circ} \left.\right) \approx 0.656059\)
\(A C \approx \frac{4}{0.656059} \approx 6.0969\) cm

Hoặc dùng Pythagoras:
\(A C = \sqrt{A H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{4^{2} + \left(\right. 4.6015 \left.\right)^{2}} = \sqrt{16 + 21.1738} = \sqrt{37.1738} \approx 6.0970\) cm (kết quả tương tự)

Tính AB:
Xét tam giác vuông AHB.
Ta có: \(sin ⁡ \left(\right. \angle B \left.\right) = \frac{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}}{\text{c}ạ\text{nh}\&\text{nbsp};\text{huy} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{n}} = \frac{A H}{A B}\)
\(sin ⁡ \left(\right. 6 2^{\circ} \left.\right) = \frac{4}{A B}\)
\(A B = \frac{4}{sin ⁡ \left(\right. 6 2^{\circ} \left.\right)}\)

Sử dụng công cụ tính toán:
\(sin ⁡ \left(\right. 6 2^{\circ} \left.\right) \approx 0.882948\)
\(A B \approx \frac{4}{0.882948} \approx 4.5303\) cm

Hoặc dùng Pythagoras:
\(A B = \sqrt{A H^{2} + H B^{2}} = \sqrt{4^{2} + \left(\right. 2.1268 \left.\right)^{2}} = \sqrt{16 + 4.5233} = \sqrt{20.5233} \approx 4.5302\) cm (kết quả tương tự)

Kết quả phần b:

• AB ≈ 4.53 cm
• AC ≈ 6.10 cm

Tóm tắt các kết quả (làm tròn 2 chữ số thập phân):

a)

• HB ≈ 2.13 cm
• HC ≈ 4.60 cm

b)

• AB ≈ 4.53 cm
• AC ≈ 6.10 cm

AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BCcos(∠B)

Sắp xếp để tìm BC (tức là \(a\)):
Let \(c = A B = 2.1\), \(b = A C = 3.8\) (cạnh đối với \(\angle B\) là AC), và \(a = B C\).

Công thức trên trở thành:

\(b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos ⁡ B\)

Với \(B = 7 0^{\circ}\), \(cos ⁡ 7 0^{\circ} \approx 0.342020\).

Từ đó:

\(3. 8^{2} = 2. 1^{2} + a^{2} - 2 \cdot 2.1 \cdot a cos ⁡ 7 0^{\circ}\)

Tính toán:

• \(3. 8^{2} = 14.44\)
• \(2. 1^{2} = 4.41\)
• \(2 \cdot 2.1 \cdot cos ⁡ 7 0^{\circ} \approx 4.2 \cdot 0.342020 \approx 1.436484\)

Vòng equation:

\(14.44 = 4.41 + a^{2} - 1.436484 a\)

Đưa về phương trình bậc hai:

\(a^{2} - 1.436484 a + 4.41 - 14.44 = 0\)\(a^{2} - 1.436484 a - 10.03 = 0\)

1. Giải phương trình bậc hai:
   D: \(\Delta = \left(\right. - 1.436484 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 10.03 \left.\right)\)

• \(\left(\right. - 1.436484 \left.\right)^{2} \approx 2.0636\)
• \(4 \cdot \left(\right. - 10.03 \left.\right) = - 40.12\), với dấu trừ ngoài => cộng: \(\Delta \approx 2.0636 + 40.12 = 42.1836\)

Sqrt:
\(\sqrt{\Delta} \approx \sqrt{42.1836} \approx 6.493\)

Hai nghiệm:

\(a = \frac{1.436484 \pm 6.493}{2}\)

• Dụng nghiệm dương:

\(a_{1} = \frac{1.436484 + 6.493}{2} \approx \frac{7.9295}{2} \approx 3.9647 \&\text{nbsp};\text{cm}\)

• Nghiệm âm bị loại: \(a_{2} = \frac{1.436484 - 6.493}{2} \approx \frac{- 5.0565}{2} \approx - 2.528\) (không hợp lệ)

Vậy:

• BC ≈ 3,965 cm (làm tròn 3,96 cm)

1. Các cạnh còn lại đã xác định:

• AB = 2,1 cm
• AC = 3,8 cm
• BC ≈ 3,96 cm

1. Có thể tính diện tích tam giác ABC:

• Sử dụng công thức với hai cạnh và góc giữa chúng tại B:
  Diện tích S = 1/2 · AB · BC · sin(∠B)
• sin 70° ≈ 0.939693

\(S \approx 0.5 \cdot 2.1 \cdot 3.9647 \cdot 0.939693\)

Tính:

• Product đầu: \(0.5 \cdot 2.1 = 1.05\)
• \(1.05 \cdot 3.9647 \approx 4.162\)
• \(4.162 \cdot 0.939693 \approx 3.912\)

Bước 1. Quy ước cạnh

• \(a = B C = 4 , 5 \textrm{ } \text{cm}\) (đối diện \(A\)),
• \(b = A C\) (đối diện \(B\)),
• \(c = A B = 3 \textrm{ } \text{cm}\) (đối diện \(C\)).

Đề cho: \(\textrm{ }\textrm{ } B = 60^{\circ} , \textrm{ }\textrm{ } a = 4 , 5 , \textrm{ }\textrm{ } c = 3\).

Bước 2. Định luật cos để tìm cạnh b

Áp dụng định luật cos tại góc \(B\):

\(a^{2} = c^{2} + b^{2} - 2 b c cos ⁡ B\)

Thay số:

\(4 , 5^{2} = 3^{2} + b^{2} - 2 \cdot b \cdot 3 \cdot cos ⁡ 60^{\circ}\) \(20 , 25 = 9 + b^{2} - 3 b\) \(b^{2} - 3 b - 11 , 25 = 0\)

Giải phương trình bậc hai:

\(\Delta = \left(\right. - 3 \left.\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. - 11 , 25 \left.\right) = 9 + 45 = 54\) \(b = \frac{3 \pm \sqrt{54}}{2} = \frac{3 \pm 7 , 348}{2}\)

• Nghiệm 1: \(b \approx \frac{10 , 348}{2} = 5 , 174\)
• Nghiệm 2: \(b \approx \frac{- 4 , 348}{2} = - 2 , 174\) (loại vì độ dài âm).

👉 Vậy \(b \approx 5 , 17 \textrm{ } \text{cm}\).

Bước 3. Tìm các góc còn lại

Áp dụng định luật sin:

\(\frac{a}{sin ⁡ A} = \frac{b}{sin ⁡ B} = \frac{c}{sin ⁡ C}\)

Ta có:

\(\frac{a}{sin ⁡ A} = \frac{b}{sin ⁡ B} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } sin ⁡ A = \frac{a sin ⁡ B}{b}\)

Thay số:

\(sin ⁡ A = \frac{4 , 5 \cdot sin ⁡ 60^{\circ}}{5 , 174}\)

\(sin ⁡ 60^{\circ} = 0 , 8660\)

\(sin ⁡ A = \frac{4 , 5 \cdot 0 , 8660}{5 , 174} \approx \frac{3 , 897}{5 , 174} \approx 0 , 7529\)

Vậy \(A \approx arcsin ⁡ \left(\right. 0 , 7529 \left.\right) \approx 48 , 9^{\circ}\).

• Vì \(A\) không thể là \(180^{\circ} - 48 , 9^{\circ} = 131 , 1^{\circ}\) (nếu vậy tổng góc sẽ vượt quá \(180^{\circ}\)), nên chỉ nhận \(A \approx 48 , 9^{\circ}\).

Tìm \(C\):

\(C = 180^{\circ} - \left(\right. A + B \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. 48 , 9^{\circ} + 60^{\circ} \left.\right) = 71 , 1^{\circ}\)

✅ Kết quả cuối cùng

• Góc:

\(A \approx 48 , 9^{\circ} , B = 60^{\circ} , C \approx 71 , 1^{\circ}\)

• Cạnh:

\(A B = c = 3 \textrm{ } \text{cm} , B C = a = 4 , 5 \textrm{ } \text{cm} , A C = b \approx 5 , 17 \textrm{ } \text{cm} .\)

Bước 1. Tìm góc A

\(A = 180^{\circ} - \left(\right. B + C \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. 65^{\circ} + 40^{\circ} \left.\right) = 75^{\circ}\)

👉 \(\hat{A} = 75^{\circ}\).

Bước 2. Quy ước cạnh

• \(a = B C = 4 , 2 \textrm{ } \text{cm}\) (đối diện \(A\))
• \(b = A C\) (đối diện \(B\))
• \(c = A B\) (đối diện \(C\))

Bước 3. Dùng định luật sin

\(\frac{a}{sin ⁡ A} = \frac{b}{sin ⁡ B} = \frac{c}{sin ⁡ C}\)

Tính giá trị chung:

\(\frac{a}{sin ⁡ A} = \frac{4 , 2}{sin ⁡ 75^{\circ}}\)

\(sin ⁡ 75^{\circ} \approx 0 , 9659\)

\(\frac{a}{sin ⁡ A} = \frac{4 , 2}{0 , 9659} \approx 4 , 349\)

Bước 4. Tính cạnh còn lại

• Cạnh \(b = A C\):

\(b = sin ⁡ B \cdot 4 , 349 = sin ⁡ 65^{\circ} \cdot 4 , 349\)

\(sin ⁡ 65^{\circ} \approx 0 , 9063\)

\(b \approx 0 , 9063 \times 4 , 349 \approx 3 , 94 \textrm{ } \text{cm}\)

• Cạnh \(c = A B\):

\(c = sin ⁡ C \cdot 4 , 349 = sin ⁡ 40^{\circ} \cdot 4 , 349\)

\(sin ⁡ 40^{\circ} \approx 0 , 6428\)

\(c \approx 0 , 6428 \times 4 , 349 \approx 2 , 79 \textrm{ } \text{cm}\)

✅ Kết quả cuối cùng

• Góc:
  \(\hat{A} = 75^{\circ} , \textrm{ }\textrm{ } \hat{B} = 65^{\circ} , \textrm{ }\textrm{ } \hat{C} = 40^{\circ}\).
• Cạnh:

\(a = B C = 4 , 2 \textrm{ } \text{cm} , b = A C \approx 3 , 94 \textrm{ } \text{cm} , c = A B \approx 2 , 79 \textrm{ } \text{cm} .\)

Bước 1. Tính góc còn lại

Trong tam giác:

\(A + B + C = 180^{\circ}\) \(A = 180^{\circ} - \left(\right. 65^{\circ} + 45^{\circ} \left.\right) = 70^{\circ}\)

👉 \(\hat{A} = 70^{\circ}\).

Bước 2. Quy ước cạnh

Theo quy ước tam giác:

• Cạnh \(a = B C\) đối diện góc \(A\).
• Cạnh \(b = A C\) đối diện góc \(B\).
• Cạnh \(c = A B\) đối diện góc \(C\).

Đề cho \(A B = 2 , 8 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } c = 2 , 8\).

Bước 3. Áp dụng định luật sin

\(\frac{a}{sin ⁡ A} = \frac{b}{sin ⁡ B} = \frac{c}{sin ⁡ C}\)

Thay vào:

\(\frac{c}{sin ⁡ C} = \frac{2 , 8}{sin ⁡ 45^{\circ}}\)

Tính:
\(sin ⁡ 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0 , 7071\)

\(\frac{c}{sin ⁡ C} = \frac{2 , 8}{0 , 7071} \approx 3 , 962\)

Bước 4. Tính các cạnh

• Cạnh \(a = B C\):

\(a = sin ⁡ A \cdot \frac{c}{sin ⁡ C} = sin ⁡ 70^{\circ} \cdot 3 , 962\)

\(sin ⁡ 70^{\circ} \approx 0 , 9397\)

\(a \approx 0 , 9397 \times 3 , 962 \approx 3 , 72\)

• Cạnh \(b = A C\):

\(b = sin ⁡ B \cdot \frac{c}{sin ⁡ C} = sin ⁡ 65^{\circ} \cdot 3 , 962\)

\(sin ⁡ 65^{\circ} \approx 0 , 9063\)

\(b \approx 0 , 9063 \times 3 , 962 \approx 3 , 59\)

✅ Kết quả cuối cùng

• Các góc:
  \(\hat{A} = 70^{\circ} , \textrm{ }\textrm{ } \hat{B} = 65^{\circ} , \textrm{ }\textrm{ } \hat{C} = 45^{\circ}\).
• Các cạnh:

\(a = B C \approx 3 , 72 \textrm{ } \text{cm} , b = A C \approx 3 , 59 \textrm{ } \text{cm} , c = A B = 2 , 8 \textrm{ } \text{cm} .\) \(A B = 2 , 8 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } c = 2 , 8\).\(A + B + C = 180^{\circ}\) \(A = 180^{\circ} - \left(\right. 65^{\circ} + 45^{\circ} \left.\right) = 70^{\circ}\)