ta có By//AC(gt)

Vì Q nằm trên đoạn thẳng AC nên BM//AQ.

Tứ giác AMBQ có cặp cạnh đối BM và AQ song song nên nó là hình thang.

ta có Ax//AC(gt).

Vì M nằm trên tia Ax và Q nằm trên đoạn thẳng AC nên AM// AQ.

=> góc MAQ=90°

Hình thang AMBQ có một góc vuông

=> Hthang AMBQ hình thang vuông.

b, Ta có BQ//AC

Mà Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng qua A vuông góc với AC tại M.

Đường MP cắt AC tại Q.

Lại có AM// AC và BM//AC

=> Q là chân đường cao hạ từ B xuống AC).

Ta có AI vuông góc BC(theo giả thiết)

AI là đường cao của tam giác ABC

Xét tứ giác AQIB có: 

Góc AQB=90°(vì BQvuông góc AC, Q nằm trên AC).

Góc AIB=90°(vì AI vuông góc BC, I nằm trên BC).

Lại có Hai đỉnh Q và I cùng nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.

=>bốn điểm A, Q, I, B cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là AB.

Có P là trung điểm của đoạn thẳng AB (gt).

P cũng là tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, Q, I, B.

Bán kính của đường tròn này là PA=PB=PQ=PI.

Vì PI=PQ

=>tam giác PIQ là tam giác cân tại P. 

Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của AC (gt).

BM = 1/2 AC (gt).

Trong tam giác ABC có:

đường trung tuyến BM bằng một nửa cạnh đối diện AC.

Mà Tam giác ABC là tam giác vuông tại B. (Gt)

=> Góc ABC=90°.

Xét tứ giác ABCD có:

ABCD là hình thang vuông (gt)

AB //CD ( vì góc A = góc D=90°)

Có góc A=90 °(gt)

Góc B=90°(cmt)

Góc D=90°( gt)

Vì 1 tứ giác có tổng 4 góc bằng 90°

=> Góc C= 360°-(90°+90°+90°)=90°

=> Tứ giác ABCD có 4 góc vuông

=> Tứ giác ABCD là hcn

Xét tứ giác AHCD ta có:

I là trung điểm của AC(gt)

nên IA = IC. Có D thuộc tia HI(gt)

IH = ID

nên I là trung điểm của HD

Tứ giác AHCD có :

hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường

=> Tứ giác AHCD là hình bình hành.

Xét hbh AHCD có:

AH là đường cao của tam giác ABC(gt)

=>AH //BC.

=>Góc AHC = 90°

=> hbh AHCD là hcn

Ta thấy BC vuông góc với BB' và B'C' vuông góc BB'

=> Tam giác ABC đồng dạng tam giác AB'C'

=> AB/AB'=BC/B'C'

Ta có :AB=x, BC= a, B'C' = a',BB'=h

Lại có: AB'= AB+BB'=x+h

=> x/x+h = a/a'

x.a'=a.(x+h)

x.a'=a.x + a. h

x.a'-a.x=a.h

x (a'-a)=a.h

x=a.h/a'-a

Xét tam giác ABD có:

MN//AB(do MQ//AB)

=> MN/AB=DM/AD(1)

Xét tam giác ABC có:

PQ//AB ( do MQ // AB)

Theo đlý thales ta có:

PQ/AB=CQ/CB(2)

Xét hthag ABCD có:

MQ//AB//CD

=>DM/DA=CQ/CB(3)

Từ (1),(2),(3) =>MN/AB=PQ/AB

=> MN/PQ

Gọi E là trung điểm của BC

=>AG/AE =2/3

Xét tam giác ABC có:

GM//AB ( do Đường thẳng đi đi qua G // AB)

=>BM/BE=AG/AE

Mà AG/AE=2/3=>BM/BE = 2/3

=>BM=2/3BE

Vì E là trung điểm của BC

=>BM=2/3.1/2BC=1/3BC

Xét tam giác OAB và tam giác OCDcó:

AB // CD (gt).

Vì AB// CD và AC là cát tuyến=>

Tam giác OAB = tam giác OCD (hai góc so le trong).(1)

Xét tam giác OBA và tam giác ODC có:

AB //CD và BD là cát tuyến

=> Tam giác OBA = tam giác OCD(hai góc so le trong) (2)

Từ (1),(2) => tam giác OBA = tam giác OAB

=> OA/OC=OB/OD

OA.OD=OC.OB

Xét Tứ giác AEDF có DE // AC(gt).

Mà F thuộc AC => DE //AF.

DF //AB(gt)

Mà E thuộc AB => DF // AE

=>AEDF là hình bình hành.

=>AE = DF và AF = DE.

Xét tam giác ABC có:

DF //AB,E thuộc AB, F thuộc AC

=> CD/CB =CF/CA=DF/AB

Xét tam giác ABC có:

DE //AC ,E thuộc AB, F thuộc AC

=>BD/BC=BE/BA=DE/AC

Ta có AE=DF(cmt)=>AE/AB=DF/AB

AF = DE (cmt) =>AF/AC, DE/AC

vậy AE/AB+AF/AC=DF/AB+DE/AC(1)

Vì D thuộc BC => BD+CD= BC

=>CD/CB+BD/BC=CD+BD/CB=BC/BC=1 (2)

Từ (1) và (2) => AE/AB+AF/AC =1