Vì $AC$ bằng bán kính của đường tròn, nên $AC = AO = OC$. Do đó, tam giác $ACO$ là tam giác đều.

Vì tam giác $ACO$ là tam giác đều, nên $\angle AOC = 60^\circ$.

Góc $ABC$ là góc nội tiếp chắn cung $AC$, nên $\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.

Vì $AB$ là đường kính của đường tròn, nên $\angle ACB$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó $\angle ACB = 90^\circ$.

Trong tam giác $ABC$, ta có $\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ$.

Vậy, các góc của tam giác $ABC$ là $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle ABC = 30^\circ$, và $\angle ACB = 90^\circ$.

+

Chứng minh $\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}$:

Vì $A'$ thuộc đường tròn $(O; r)$ nên $OA' = r$.

Vì $A$ thuộc đường tròn $(O; R)$ nên $OA = R$.

Vì $B'$ thuộc đường tròn $(O; r)$ nên $OB' = r$.

Vì $B$ thuộc đường tròn $(O; R)$ nên $OB = R$.

Do đó, $\frac{OA'}{OA} = \frac{r}{R}$ và $\frac{OB'}{OB} = \frac{r}{R}$.

Vậy, $\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}$.

+)

Chứng minh $AB // A'B'$:

Xét tam giác $OAB$, ta có $\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}$ (chứng minh trên).

Theo định lý Thales đảo, ta suy ra $A'B' // AB$

Vậy

a) $\frac{OA'}{OA} = \frac{OB'}{OB}$

b) $AB // A'B'$

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Vì ABCD là hình chữ nhật, nên các góc $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$. Do đó, tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp. Tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là giao điểm của hai đường chéo. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng một nửa độ dài đường chéo.

+)

Tính độ dài đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD.

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ADC, ta có:

$AC^2 = AD^2 + DC^2 = 18^2 + 12^2 = 324 + 144 = 468$

$AC = \sqrt{468} = \sqrt{36 \times 13} = 6\sqrt{13}$

+)

Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD.

$R = \frac{AC}{2} = \frac{6\sqrt{13}}{2} = 3\sqrt{13}

Vậy

Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó là $3\sqrt{13}$ cm.

a) $CA = DA = 6$ cm, $CB = DB = 4$ cm.

b) Điểm I không phải là trung điểm của đoạn thẳng AB.

c) $IK = 2$ cm.

giải

+)

a) Để tìm điểm N đối xứng với điểm M qua tâm O, ta vẽ đường thẳng đi qua M và O. Điểm N là giao điểm thứ hai của đường thẳng này với đường tròn (O).

+)

b) Để tìm điểm P đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB, ta vẽ đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB. Điểm P là giao điểm thứ hai của đường thẳng này với đường tròn (O)

vậy

a) Điểm N đối xứng với điểm M qua tâm O là giao điểm thứ hai của đường thẳng MO với đường tròn (O).

b) Điểm P đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB là giao điểm thứ hai của đường thẳng đi qua M và vuông góc với AB với đường tròn (O).

Giải

+)

Xác định quỹ tích của điểm A:

Vì cạnh BC cố định và độ dài cạnh AB không đổi (AB = 4 cm), điểm A sẽ di động trên một đường tròn có tâm là B và bán kính là 4 cm.

+)

Xác định quỹ tích của trung điểm M của AC:

Gọi I là trung điểm của BC. Vì M là trung điểm của AC, ta có IM là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IM song song và bằng một nửa AB.

$IM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ cm.

Vì I là trung điểm của BC (BC cố định), I là một điểm cố định. Do đó, M sẽ di động trên một đường tròn có tâm là I và bán kính là 2 cmvậy

a) Điểm A di động trên đường tròn tâm B, bán kính 4 cm.

b) Trung điểm M của AC di động trên đường tròn tâm I (I là trung điểm của BC), bán kính 2 cm.

giải

+)

Chứng minh $OM$ là đường trung trực của $AB$:

Xét tam giác $OAB$ có $OA = OB = R$ (bán kính đường tròn $(O; R)$).

Do đó, tam giác $OAB$ cân tại $O$.

$M$ là trung điểm của $AB$ (giả thiết).

Suy ra $OM$ là đường trung tuyến của tam giác $OAB$.

Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao.

Vậy $OM \perp AB$.

Vì $M$ là trung điểm của $AB$ và $OM \perp AB$ nên $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

+)

Tính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $AB$:

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$ nên $AM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ cm.

Xét tam giác $OAM$ vuông tại $M$, theo định lý Pytago, ta có:

$OA^2 = OM^2 + AM^2$

$OM^2 = OA^2 - AM^2 = R^2 - AM^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$

$OM = \sqrt{9} = 3$ cm.

vậy

a) Đường thẳng $OM$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ vì $OM$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm $M$ của $AB$.

b) Khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $AB$ là $3$ cm.

giải

+)

Vẽ đường tròn (C; 2cm):

Để vẽ đường tròn (C; 2cm), ta đặt compa vào điểm C, mở rộng compa sao cho bán kính bằng 2cm, sau đó vẽ đường tròn.

+)

Kiểm tra xem đường tròn (C; 2cm) có đi qua O và A hay không:

Vì C nằm trên đường tròn (O; 2cm) nên OC = 2cm. Do đó, O nằm trên đường tròn (C; 2cm).

Vì C nằm trên đường tròn (A; 2cm) nên AC = 2cm. Do đó, A nằm trên đường tròn (C; 2cm)

Vậy

a) Vẽ đường tròn (C; 2cm) bằng cách đặt compa vào điểm C, mở rộng compa sao cho bán kính bằng 2cm, sau đó vẽ đường tròn.

b) Đường tròn (C; 2cm) có đi qua hai điểm O và A. Vì OC = 2cm và AC = 2cm.