a) \(\triangle A B C\) cân tại \(A\) nên \(\hat{A B C} = \hat{A C B}\).

Vì \(B Q\) và \(C P\) là đường phân giác của \(\hat{B} , \hat{C}\) nên \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{\hat{A B C}}{2}\), \(\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}} = \frac{\hat{A C B}}{2}\).

Do đó \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \hat{C_{1}} = \hat{C_{2}}\).

Suy ra \(\triangle O B C\) cân tại \(O\).

b) Vì \(O\) là giao điểm các đường phân giác \(C P\) và \(B Q\) trong \(\triangle A B C\) nên \(O\) là giao điểm ba đường phân giác trong \(\triangle A B C\).

Do đó, \(O\) cách đều ba cạnh \(A B , A C\) và \(B C\).

c) Ta có \(\triangle A B C\) cân tại \(A , A O\) là đường phân giác của góc \(A\) nên \(A O\) đồng thời là trung tuyến và đường cao của \(\triangle A B C\).

Vậy đường thẳng \(A O\) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \(B C\) và vuông góc với nó.

d) Ta có \(\triangle P B C = \triangle Q C B\) (g.c.g)

\(\Rightarrow C P = B Q\) (hai cạnh tương ứng).

e) Ta có \(A P = A B - B P\), \(A Q = A C - C Q\) (1);

\(\triangle P B C = \triangle Q C B \Rightarrow B P = C Q\) (2).

Lại có \(A B = A C\) (tam giác \(A B C\) cân tại \(A\)) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(A P = A Q\).

Vậy tam giác \(A P Q\) cân tại \(A\).

a) Xét OAD và △OCB ta  có:

OA=OC (giả thiết);

O chung;

OD=OB (giả thiết).

Do đó OAD=△OCB (c.g.c)

Suy ra AD=CB (hai cạnh tương ứng).

b) Do OA=OC và OB=OD nên AB=CD.

Mà OAD=OCB 

Suy ra OBC=ODA;OAD=OCB (hai góc tương ứng)

Mặt khác  ABE+OBC=CDE+ODA=180

Suy ra ABE=CDE

Xét  △CDE△CDE có

OAD=OCB 

AB=CD 

ABE=CDE 

Do đó ABE=CDE (g.c.g).

c) Vì ABE=△CDE  nên AE=CE (hai cạnh tương ứng).

Xét AEO và CEO ta có :

AE=CE 

OE cạnh chung;

OA=OC (giả thiết).

Do đó AEO=CEO (c.c.c)

Suy ra AOE=COE (hai góc tương ứng)

a) Xét  IOE và  IOF ta  có:

E=F=90  (giả thiết);

OI cạnh chung;

EOI=FOI (Om là tia phân giác).

Vậy  IOE=IOF (cạnh huyền - góc nhọn).

b)  IOE=IOF 

suy ra OE=OF (hai cạnh tương ứng).

Gọi H là giao điểm của Om và EF.

Xét  OHE và  OHF, có

OE=OF (chứng minh trên);

EOH=FOH(OmOm là tia phân giác);

OH chung.

Do đó tam giác OHE=tam giác OHF (c.g.c)

Suy ra  góc OHE= góc FHO (hai góc tương ứng)

Mà góc OHE+góc FHO=180OHE+FHO=180 nên OHE=FHO=90góc OHE= góc FHO=90

Vậy EF vuông góc OmEF vuông góc Om.

1. Tính các góc tại đỉnh A:
   Vì   là tia phân giác của   nên:
   Gọi   là tia đối của tia  . Ta có   và   là hai góc kề bù:
   Suy ra  . Do đó,   là tia phân giác của   (góc ngoài tại đỉnh   của  ).
2. Xác định tính chất điểm I trong  :
   Xét  , ta có:
3. •  là tia phân giác của góc ngoài tại đỉnh  .
   •  là tia phân giác của góc ngoài   (theo giả thiết).
   •  và   cắt nhau tại  .
     Theo tính chất hình học lớp 7: "Giao điểm của hai tia phân giác ngoài của một tam giác thì nằm trên tia phân giác của góc trong còn lại". Suy ra   là tia phân giác của   (hay chính là  ).
4. Chứng minh  :
   Vì   thuộc tia phân giác của  , mà theo tính chất tia phân giác: "Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó".
   Lại có   và 

ta có:

AD là cạnh huyền

góc DAH = góc DAK (vì AD là tia phân giác góc A)

suy ra ADH = ADK (cạnh huyền-góc nhọn)

DH = DK (hai cạnh tương ứng)

xét tam giác DHB và DKC vuông tại H và K

ta có:

DH = DK (hai cạnh tương ứng)

DB = DC (D nằm trên đường trung trực BD)

suy ra tam giác DHB = DKC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)