a)

• Vì \(O\) nằm trên phân giác \(B Q\) ⇒ \(O B\) liên quan góc tại \(B\)
• Vì \(O\) nằm trên phân giác \(C P\) ⇒ \(O C\) liên quan góc tại \(C\)
• Trong tam giác cân \(A B = A C\) ⇒ \(\angle B = \angle C\)

⇒ \(O\) nằm trên “trục đối xứng” của tam giác

⇒ \(O B = O C\)

Vậy △ OBC cân tại \(O\)

b)

• O∈BQ (phân giác tại \(B\)) ⇒ \(O\) cách đều \(B A , B C\)
• \(O \in C P\) (phân giác tại \(C\)) ⇒ \(O\) cách đều \(C A , C B\)

⇒ \(O\) cách đều cả 3 cạnh \(A B , A C , B C\)

Vậy O là tâm nội tiếp tam giác

c)

• Vì \(O\) cách đều \(A B\) và \(A C\)
  ⇒ \(O\) nằm trên phân giác góc \(A\)
• Trong tam giác cân tại \(A\):
• • phân giác \(A\) đồng thời là trung tuyến và đường cao

Vậy \(A O \bot B C\) và đi qua trung điểm \(B C\)

d)

• Xét \(\triangle B Q C\) và \(\triangle C P B\)
• Có:
• • \(A B = A C\)
  • góc đối xứng trong tam giác cân: \(\angle B = \angle C\)
  • \(B Q , C P\) là phân giác

⇒ hai tam giác đối xứng qua trục \(A O\)

Vậy CP=BQ

e)

• P ∈ AB,Q ∈ AC
• \(B Q , C P\) đối xứng qua trục \(A O\)
  ⇒ \(P\) và \(Q\) đối xứng nhau qua \(A O\)
• ⇒ \(A P = A Q\)
• Vậy △APQ cân tại \(A\)

a)

• Xét hai tam giác \(O A D\) và \(O C B\)
• Ta có:
• • \(O A = O C\) (giả thiết)
  • \(O D = O B\) (giả thiết)
  • \(\angle A O D = \angle C O B = \angle x O y\)

⇒ \(\triangle O A D = \triangle O C B\) (c.g.c)

Vậy AD = BC

b)

• Từ (a): \(A D = B C\)
• Xét hai tam giác \(A B E\) và \(C D E\):
• Có:
• • \(\angle A E B = \angle C E D\) (đối đỉnh)
  • \(\angle A B E = \angle C D E\) (so le trong do cấu hình đối xứng)
  • \(A B = C D\) (vì \(O A - O B = O C - O D\))

Vậy \(\triangle A B E = \triangle C D E\) (g.g.c)

c)

• Từ (b) ⇒ \(A E = C E\)
• Lại có:
  \(O A = O C\)

⇒ \(E\) cách đều hai cạnh của góc \(x O y\)

Vậy \(O E\) là phân giác của \(\angle x O y\)

a)

• IE⊥Ox⇒∠IEO=90∘
• \(I F \bot O y \Rightarrow \angle I F O = 90^{\circ}\)

⇒ Hai tam giác \(I O E\), \(I O F\) là tam giác vuông

• \(O I\) là cạnh chung
• \(I \in O m\), mà \(O m\) là phân giác
  ⇒ \(\angle I O E = \angle I O F\)

⇒ Hai tam giác vuông có:

• Cạnh huyền bằng nhau (OI)
• Một góc nhọn bằng nhau

⇒ \(\triangle I O E = \triangle I O F\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy △IOE=△IOF

b)

• Từ (a) ⇒ \(I E = I F\)
• \(O E = O F\) (vì hai tam giác bằng nhau)

⇒ \(I\) và \(O\) đều cách đều \(E\) và \(F\)

⇒ \(O I\) là đường trung trực của \(E F\)

⇒ \(O I \bot E F\)

Mà \(I \in O m\) ⇒ \(O I \equiv O m\)

Vậy EF⊥Om

• AD là phân giác và \(\angle A = 120^{\circ}\)
  ⇒ \(\angle B A D = \angle C A D = 60^{\circ}\)
• Xét tam giác \(A D C\):
  \(\angle A D C = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \angle A C D = 120^{\circ}\)
• \(D I\) là phân giác \(\angle A D C\)
  ⇒ \(\angle A D I = \angle I D C = 60^{\circ}\)
• Suy ra:
  \(\angle B A D = \angle A D I = 60^{\circ}\)
  ⇒ \(I\) nằm trên phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng \(A B\) và \(B C\)
• Mà:
• • \(I H \bot A B\) ⇒ \(I H\) là khoảng cách từ \(I\) đến \(A B\)
  • \(I K \bot B C\) ⇒ \(I K\) là khoảng cách từ \(I\) đến \(B C\)

⇒ Điểm nằm trên phân giác ⇒ khoảng cách đến hai cạnh bằng nhau

Vậy IH=IK

• DH⊥AB ⇒ \(\angle D H B = 90^{\circ}\)
• \(D K \bot A C\) ⇒ \(\angle D K C = 90^{\circ}\)

⇒ \(\triangle D B H\) và \(\triangle D C K\) là hai tam giác vuông

DB=DC (vì \(D\) thuộc trung trực của \(B C\))

• AD là phân giác ⇒ \(\angle B A D = \angle C A D\)
• Suy ra: \(\angle D B A = \angle D C A\)
• Mà:
• • \(\angle D B H = \angle D B A\)
  • \(\angle D C K = \angle D C A\)

⇒ \(\angle D B H = \angle D C K\)

• Hai tam giác vuông có:
• • Cạnh huyền bằng nhau
  • Một góc nhọn bằng nhau

⇒ \(\triangle D B H = \triangle D C K\) (cạnh huyền – góc nhọn)

Vậy BH=CK

2