a)

Xét △ABC có:

\(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{o}\) ( định lí tổng ba góc trong tam giác )

Số đo các góc \(\hat{A};\hat{B}\) và \(\hat{C}\) tỉ lệ nghịch với 3; 8 và 6

nên \(3\hat{A}=8\hat{B}=6\hat{C}\) thì \(\frac{\hat{A}}{8}=\frac{\hat{B}}{3}=\frac{\hat{C}}{4}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{\hat{A}}{8}=\frac{\hat{B}}{3}=\frac{\hat{C}}{4}=\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}}{8+3+4}=\frac{180^{o}}{15}=12^{o}\)

nên \(\begin{cases}\hat{A}=12^{o}.8=96^{o}\\ \hat{B}=12^{o}.3=36^{o}\\ \hat{C}=12^{o}.4=48^{o}\end{cases}\)

b)

Do \(\frac{\hat{A}}{\hat{B}}=\frac23\) nên \(\hat{B}=\frac{3\hat{A}}{2}\)

Xét △ABC có:

\(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180^{o}\) ( định lí tổng ba góc trong tam giác )

\(\hat{C}=180^{o}-\hat{A}-\hat{B}\)

\(5\hat{C}=900^{o}-5\hat{A}-5\hat{B}=\hat{A}+\hat{B}\)

\(6\hat{A}+6\hat{B}=6\left(\hat{A}+\hat{B}\right)=900^{o}\)

\(\hat{A}+\hat{B}=\hat{A}+\frac{3\hat{A}}{2}=\frac{5\hat{A}}{2}=5\hat{C}=900^{o}:6=150^{o}\)

nên \(\begin{cases}\hat{A}=\frac{150^{o}.2}{5}=60^{o}\\ \hat{B}=\frac{3\hat{A}}{2}=\frac{3.60^{o}}{2}=90^{o}\\ \hat{C}=150^{o}:5=30^{o}\end{cases}\)

Công thức tính chu vi đường tròn:

\(C=2\pi R\)

Công thức tính diện tích hình tròn:

\(S=\pi R^2\)

Trong đó:

- \(\pi\) là một hằng số ( khoảng \(3,14159265358979323846264\) )

- R là bán kính hình tròn

Diện tích của phần tô màu là:

\(S=S_{lớn}-S_{nhỏ}=\pi R_{lớn}^2-\pi R_{nhỏ}^2=\pi\left(R_{lớn}^2-R_{nhỏ}^2\right)\)

\(=\pi\left\lbrack\left(\frac{C_{lớn}}{2\pi}\right)^2-\left(\frac{C_{nhỏ}}{2\pi}\right)^2\right\rbrack=\pi\left(\frac{C_{lớn}^2-C_{nhỏ}^2}{4\pi^2}\right)=\frac{C_{lớn}^2-C_{nhỏ}^2}{4\pi}\)

\(=\frac{30,144^2-21,98^2}{4\pi}=\frac{425,540336}{4\pi}=\frac{26596271}{250000\pi}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)

Vậy diện tích phần tô màu là khoảng \(33,86342397969301\operatorname{cm}^2\)

\(\) a)

Giả sử \(x+7y\) là bội của \(31\)

Do \(\left(6;31\right)=1\)

nên \(6\left(x+7y\right)=6x+42y=6x+11y+31y\) là bội của \(31\)

mà \(31y\) là bội của \(31\) nên \(6x+11y\) là bội của \(31\)

thì \(6x+11y\) là bội của \(31\) khi và chỉ khi \(x+7y\) là bội của \(31\)

( đpcm )

b)

Giả sử \(x-4y\) là bội của \(13\)

Do \(\left(7;13\right)=1\)

nên \(7\left(x-4y\right)=7x-28y=7x+11y-39y\) là bội của 13

mà \(-39y\) là bội của \(13\) nên \(7x+11y\) là bội của 13

thì \(7x+11y\) là bội của \(13\) khi và chỉ khi \(x-4y\) là bội của \(13\)

( đpcm )

oh ye what a scary warning

Gọi phân số đã cho là \(\frac{a}{55-a}\) và số tự nhiên cần tìm là \(b\)

( \(25\le a<55;b\ne a-55\) )

Lấy tử số trừ đi số tự nhiên \(c\) và cộng mẫu số với số tự nhiên c thì được phân số mới là \(\frac56\) và tổng tử và mẫu là không thay đổi

nên \(\begin{cases}\frac{a-b}{55-a+b}=\frac56=\frac{5c}{6c}\\ \left(a-b\right)+\left(55-a+b\right)=5c+6c=11c=55\end{cases}\)

( \(c\ne0\) )

thì \(c=55:11=5\) ( t/m ) hay \(\begin{cases}a-b=5c=25\\ 55-a+b=6d=30\end{cases}\)

cho nên \(a-b=25\) do đó \(b=a-25\)

Vậy số tự nhiên cần tìm là bằng giá trị của phép tính: tử số trừ 25.

( Nếu tử số của phân số đã cho bé hơn 25 thì số cần tìm không là số tự nhiên )

\(50:2\)

\(=\left(25+25\right):2\)

\(\) \(=\left(25\times2\right):2\)

\(=25\times2:2\)

\(=25\)

\(1467:6\)

\(=\left(489\times3\right):\left(2\times3\right)\)

\(=489\times3:2:3\)

\(=489:2\)

\(=\left(488+1\right):2\)

\(=488:2+1:2\)

\(=244+0,5\)

\(=244,5\)

+, Nếu \(x<1\) thì:

\(x^8-x^7+x^2-x+1\)

\(=x^8+x^2\left(1-x^5\right)+\left(1-x\right)\)

\(>0\)

+, Nếu \(x\ge1\) thì:

\(x^8-x^7+x^2-x+1\)

\(=x^7\left(x-1\right)+x\left(x-1\right)+1\)

\(>0\)

+, Do đó \(x^8-x^7+x^2-x+1>0\forall x\) ( đpcm )

\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\)

\(=\frac12\left(\frac{2a^2}{b^2}+\frac{2b^2}{c^2}+\frac{2c^2}{a^2}\right)\)

\(=\frac12\left\lbrack\left(\frac{a^2}{b^2}-\frac{2a}{c}+\frac{b^2}{c^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}-\frac{2b}{a}+\frac{c^2}{a^2}\right)+\left(\frac{c^2}{a^2}-\frac{2c}{b}+\frac{a^2}{b^2}\right)+2\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\right\rbrack\)

\(=\frac12\left\lbrack\left(\frac{a}{b}-\frac{b}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}-\frac{c}{a}\right)^2+\left(\frac{c}{a}-\frac{a}{b}\right)^2\right\rbrack+\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\ge\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\) ( đpcm )

( Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) )

+, Do \(\begin{cases}x>\sqrt2\\ y>\sqrt2\end{cases}\) nên \(\begin{cases}x^2>2\\ y^2>2\end{cases}\) thì \(\begin{cases}x^5>2x^3\\ y^5>2y^3\end{cases}\) hay \(x^5+y^5>2\left(x^3+y^3\right)\)

+, \(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4\right)}{x+y}\)

\(=\frac{x^5+y^5}{x+y}\)

\(>\frac{2\left(x^3+y^3\right)}{x+y}\)

\(=\frac{2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x+y}\)

\(=\frac{2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)-2xy\left(x+y\right)}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)-2xy\left(x+y\right)}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)+\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)}{x+y}\)

\(=\frac{\left(x+y\right)\left\lbrack\left(x^2+y^2\right)+\left(x-y\right)^2\right\rbrack}{x+y}\)

\(=x^2+y^2+\left(x-y\right)^2\)

\(\ge x^2+y^2\) ( đpcm )

( Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\) )