Đổi: $2 \text{ giờ } 30 \text{ phút} = 2,5 \text{ giờ}$.

Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là $v$ (km/h).

Theo bài ra, ta có: $v \le 40$ (km/h).

Tốc độ của ca nô khi đi xuôi dòng là:

Do $v \le 40$ nên:

Quãng đường ca nô đi được trong $2,5$ giờ là:

Kết luận: Quãng đường ca nô đi được trong thời gian trên không vượt quá 115km (ĐPCM).

a) Giải phương trình: $(2x+1)^2 - 9x^2 = 0$

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Tập nghiệm: $S = \left\{1; -\frac{1}{5}\right\}$.

b) Giải hệ phương trình:

Nhân cả hai tế của phương trình thứ hai với $4$:

Cộng hai phương trình vế theo vế:

Thay $x = \frac{19}{13}$ vào phương trình $2x + y = 4$:

Nghiệm của hệ: $(x; y) = \left(\frac{19}{13}; \frac{14}{13}\right)$.

Gọi giá niêm yết của mặt hàng $A$ là $x$ (đồng) và mặt hàng $B$ là $y$ (đồng) ($x, y > 0$).

• Trong đợt khuyến mại thường:
• • Giá mặt hàng $A$ sau khi giảm 20%: $0,8x$
  • Giá mặt hàng $B$ sau khi giảm 15%: $0,85y$
  • Mua 2 mặt hàng $A$ và 1 mặt hàng $B$ hết $362.000$ đồng:$$2 \cdot (0,8x) + 0,85y = 362.000 \Rightarrow 1,6x + 0,85y = 362.000 \quad (1)$$
• Trong khung giờ vàng:
• • Giá mặt hàng $A$ sau khi giảm 30%: $0,7x$
  • Giá mặt hàng $B$ sau khi giảm 25%: $0,75y$
  • Mua 3 mặt hàng $A$ và 2 mặt hàng $B$ hết $552.000$ đồng:$$3 \cdot (0,7x) + 2 \cdot (0,75y) = 552.000 \Rightarrow 2,1x + 1,5y = 552.000 \quad (2)$$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình:

• Nhân (1) với $1,5$ và (2) với $0,85$:$$\begin{cases} 2,4x + 1,275y = 543.000 \\ 1,785x + 1,275y = 469.200 \end{cases}$$
• Trừ hai phương trình:$$0,615x = 73.800 \Rightarrow x = 120.000$$
• Thay $x = 120.000$ vào $(1)$:$$1,6(120.000) + 0,85y = 362.000 \Rightarrow 192.000 + 0,85y = 362.000 \Rightarrow y = 200.000$$

Kết luận:

• Giá niêm yết của mặt hàng $A$ là $120.000$ đồng.
• Giá niêm yết của mặt hàng $B$ là $200.000$ đồng.

a) Chứng minh $\Delta CKH \sim \Delta BCA$

• Xét tứ giác $AKCH$ có $\widehat{AKC} = 90^\circ$ và $\widehat{AHC} = 90^\circ$.
  Do đó, tứ giác $AKCH$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$.
• Suy ra $\widehat{CHK} = \widehat{CAK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $CK$).
• Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD \parallel BC \Rightarrow \widehat{CAK} = \widehat{ACB}$ (so le trong).
• Từ đó suy ra $\widehat{CHK} = \widehat{ACB}$.

Xét $\Delta CKH$ và $\Delta BCA$:

• $\widehat{CHK} = \widehat{ACB}$ (chứng minh trên)
• Tương tự, $\widehat{CKH} = \widehat{BAC}$ (cùng chắn cung $CH$ trong đường tròn đường kính $AC$).

$\Rightarrow \Delta CKH \sim \Delta BCA$ (g.g).

b) Chứng minh $HK = AC \cdot \sin\widehat{BAD}$

Từ câu a, do $\Delta CKH \sim \Delta BCA$ nên ta có tỉ số đồng dạng:

Xét tam giác $CKB$ vuông tại $K$:

• $CK = BC \cdot \sin\widehat{KBC}$

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $\widehat{KBC} = \widehat{BAD}$ (hai góc bù với $\widehat{ABC}$).

Do đó:

Thay vào biểu thức của $HK$:

1. Quãng đường tàu $B$ đi được: $AB = 20 \cdot 1,5 = 30$ (hải lí).
2. Quãng đường tàu $C$ đi được: $AC = 15 \cdot 1,5 = 22,5$ (hải lí).
3. Kẻ $CH \perp AB$ ($H \in AB$):
4. • $CH = AC \cdot \sin 60^\circ = 22,5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{45\sqrt{3}}{4} \approx 19,486$ (hải lí).
   • $AH = AC \cdot \cos 60^\circ = 22,5 \cdot 0,5 = 11,25$ (hải lí).
5. Tính $BH = AB - AH = 30 - 11,25 = 18,75$ (hải lí).
6. Áp dụng định lý Pythagore trong $\Delta CHB$ vuông tại $H$:$$BC = \sqrt{BH^2 + CH^2} = \sqrt{(18,75)^2 + \left(\frac{45\sqrt{3}}{4}\right)^2} \approx 27,04 \text{ (hải lí)}$$

Kết luận: Sau $1,5$ giờ, hai tàu cách nhau khoảng $27,04$ hải lí.